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格靈-納爾遜悖論

Grelling-Nelson悖論是對立的,或者是語義上自指的悖論,涉及“異質的”一詞對自身的適用性,意味著“對自身不適用”。 它由Kurt Grelling和Leonard Nelson於1908年制定,有時被錯誤地歸因於德國哲學家和數學家Hermann Weyl。 因此,它有時被稱為韋爾悖論和格林靈悖論。 它與其他幾個著名的悖論密切相關,尤其是理髮師悖論和羅素悖論。

悖論
假設人們對形容詞“自變”和“異變”的解釋如下:

如果形容詞描述自己,則它是自動的(有時是同源的)。 例如,英語單詞“ English”是自動的,“ unhyphenated”和“ pentasyllabic”也是自動的。
如果形容詞沒有描述自身,則是異質的。 因此,“長”是異義詞(因為它不是長詞),“連字符”和“單音節”也是如此。

似乎所有形容詞都必須是自動的或異類的,因為每個形容詞要么描述自己,要么不描述自己。 但是,在許多情況下都會出現問題。

描述
Grelling和Nelson在形成對立時,假設每個類別都由代表單詞的特徵定義。 例如,單詞“單音節”表示所有單音節詞的類別的特徵。 然後,將單詞分為兩類,其定義如下:

自言詞本身俱有指定的特徵,而異體詞則沒有。 “德語”或“三音節”是自動的,因為“德語”是德語,“三音節”是三個音節。 但是,大多數單詞是異義單詞,例如“英語”和“單音節”,因為“英語”不是英文單詞,而“單音節”不是單音節單詞。

似乎每個單詞都可以毫無衝突地歸為這兩類之一,但是仔細觀察就會出現問題。

矛盾的情況
當我們考慮形容詞“異質的”時,便會出現Grelling-Nelson悖論。 有人會問:“異質的”是異質詞嗎? 如果答案為“否”,則“異質的”是自發的。 這導致了一個矛盾,因為在這種情況下,“異質的”並不能自我描述:它必須是一個異類詞。 但是,如果答案是“是”,則“異質的”是異質的。 這再次導致了矛盾,因為如果“異質的”一詞描述自己,那是自發的。

“異質”(heterological)是異質詞嗎?
否→“異質的”是自發的→“異質的”描述了自己→“異質的”是異質的,矛盾的
是→“異質的”是異質的→“異質的”不自我描述→“異質的”不是異質的,矛盾

通過略微修改“異質的”的定義以容納除“異質的”之外的所有非自發性詞,可以消除悖論,而無需更改先前定義明確的“異質的”的含義。 但是,“非自言自語的”受同樣的悖論之害,因此這種規避是不適用的,因為英語規則是由“自言自語的”唯一地確定其含義的。 對“自言自語”的定義進行類似的細微修改(例如聲明其為“非自律”及其同義詞的虛假)可能會糾正這一點,但對於“自律”和“異體”的同義詞(例如“自我描述”)仍然存在悖論”和“非自我描述”,其含義也需要調整,然後需要進行調整的後果,依此類推。 使英語擺脫Grelling-Nelson悖論,不僅要對“自言自語”和“異類”的定義進行完善,而要對語言進行更多的修改,甚至不必在語言中出現悖論。 這些英語障礙的範圍可與羅素基於集合的數學悖論的範圍相提並論。

任意案件
可能還會有人問“自閉症”是否是自發性的。 可以一致選擇以下任一形式:

如果我們說“自言自語”是自律性的,然後問它是否適用於自身,那麼是的,它確實適用,因此是自律性的;
如果我們說“自言自語”不是自發性的,然後問它是否適用於自身,則不行,它不會適用,因此也不是自發性的。

這與異質學的情況相反:雖然“異質的學”在邏輯上不能是自發的或異質的,但“自學的”可以是兩種。 (這不能同時是兩者,因為自動和異類的類別不能重疊。)

從邏輯上講,“自言自語”的情況是:

當且僅當“自動”是自動的時,“自動”才是自動的
A當且僅當A重言式

而“異質的”的情況是:

當且僅當“異質的”是自發的時,“異質的”才是異質的
一個當且僅當不是一個矛盾。

模棱兩可的情況
人們可能還會問“大聲”是自發的還是異源的。 如果大聲說,“大聲”是自動的; 否則,它是異質的。 這表明不能將某些形容詞明確地分為自發性或異質性。 Newhard試圖通過採用Grelling的悖論來專門解決單詞類型而不是單詞標記的問題來消除此問題。

解決方案
在對立方面,格靈和納爾遜通過可逆的獨特功能為每個班級分配名稱,從而將羅素的對立面轉移到語言層面; Russellian類別對應於異義詞類別{\ displaystyle H = \ {\ varphi(x)\ mid \ varphi(x)\ notin x \}}, 以便\ varphi(H)表示“異質的”一詞。 因此,Grelling-Nelson矛盾的解決方案與Russellian矛盾的解決方案完全平行:一個人可以證明該階級\,H,所有的異義詞不是一個集合,而是所謂的實類。

因此,Grelling-Nelson悖論具有以下邏輯結果:給定的雙射\ varphi,它指定了單詞類的名稱,不能在邏輯上實現。 在描述每種常用語言的字母上方有一組單詞,就無法形成為所有類命名的內部邏輯功能。 在這裡,實類仍然是無名的,因為它們不能是函數中的參數。 這意味著不符合對立語言要求。 因此,它是所謂的語義悖論之一,在這種語義悖論中,不允許將元語言學情況描繪到邏輯語言層面。 任何類的命名\ varphi即,僅是正確的,因為它是影響公式形成的元語言函數。 但是,如果您將Grelling-Nelson假設為模擬邏輯函數的{\ displaystyle \ varphi} \ varphi,那麼就不能證明它是雙射的,因為矛盾表明這種天真的前提是錯誤的。

在解決更常見的分支類型理論時,語法受到限制,因此語句\ x中的varphi(x)\ varphi(x)\ notin x在語法上不再正確,並且兩個單詞類別也不再形成和定義。 單詞類的類型比其元素(單詞)和函數的類型高\ varphi甚至比單詞類更高的類型。 因此是函數值\ varphi(x)不作為\, X,xauthorized。 因此,類型理論試圖通過引入語言級別來解決問題,因此需要復雜的語法來嚴格限制語言的可能性。 像拉塞爾的對數一樣,第一階段的謂詞邏輯中的公式足以解決問題,避免了這種努力,並允許使用所述公式; 在這裡,允許的結論足以證明Grelling-Nelson矛盾的要求是不一致的。

與羅素悖論的相似之處
可以通過以下方式將Grelling-Nelson悖論翻譯為Bertrand Russell著名的悖論。 首先,必須用形容詞適用的一組對象來識別每個形容詞。 因此,例如,形容詞“紅色”等於所有紅色對象的集合。 這樣,形容詞“可發音的”等同於所有可發音事物的集合,其中之一就是單詞“可發音的”本身。 因此,自言詞被理解為一個集合,其元素之一就是集合本身。 “異質的”一詞是否是異質性的問題變成了不包含自身的所有集合中的集合是否包含自身作為元素的問題。

娛樂語言學的重要性
由於它們的稀有性,因此很難找到自動詞,特別是如果排除了諸如“不可燃”之類的否定詞時。 除形容詞外,還提到名詞,動詞(“ end”,“ contain”,“ exist”),副詞(英語“ polysyllabally”多音節)和其他單詞(“ es”,“ here”),其中有自動名詞有兩個定義。 根據一個定義,如果一個名詞描述了它所具有的特徵,則認為該名詞是自動的,而如果另一個名詞描述了它的本質,則認為該名詞是自動的。 根據第一個定義,在第二個“三音節”(是三個音節)之後,“四個音節”(是四個音節)和“反義詞”(是反義詞,即同義詞)自動名詞的例子反義詞”(是反義詞)。 根據第二個定義,單詞“單語”(針對語言學)和“ oxymoron”被形成為自動語言。

廣義上的“丙氧酮”一詞是自動詞(在希臘語或其他語言中,倒數第二個音節強調該詞)。 “新詞”(新詞創造)曾經是一個自動詞,但如今已不再使用。 “ Protologism”(由Mikhail Epstein創造,因為它們尚未被廣泛使用,因此還沒有達到新邏輯的地位,因此被建議使用新詞)仍然是自動的,但是可能會失去這種地位。 “未完成”未完成,但未正確描述此屬性,因此不應被視為一個自體詞。 “ Quote”不是自動的,因為不是單詞“ quote”是引號,而是引號“” quote”。

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埃皮梅尼德斯悖論

Epimenides悖論揭示了邏輯中自我參照的問題。 它以克里特島哲學家克諾索斯的埃皮梅尼德斯(Epimenides)的名字命名(現存於公元前600年),他的原始說法被認為是正確的。 關於問題的典型描述在道格拉斯·霍夫施塔特(Douglas Hofstadter)的《哥德爾·埃舍爾·巴赫》一書中:

Epimenides是克里特島人,他做出了不朽的聲明:“所有克里特島人都是騙子。”

當人們考慮到Epimenides是否有可能說出真相時,就會出現自我指稱的悖論。

邏輯悖論
托馬斯·福勒(Thomas Fowler,1869年)提出瞭如下悖論:“埃皮米尼德斯·克里特人說,’所有克里特人都是撒謊者,”但Epimenides本身就是克里特人。 因此他本人是騙子。 但是,如果他是個騙子,他說的話是不正確的,因此,克里特島人是善良的; 但Epimenides是克里特島人,因此他說的是真的。 說克里特島人是騙子,埃皮門尼德斯本人就是騙子,他說的話是不正確的。 因此,我們可能會繼續證明Epimenides和Cretans是真實和不真實的。”

但是,可以解決這種形式的Epimenides悖論。 有兩個選項:它為true或false。 首先,假設它是正確的,但是後來作為克里特島的Epimenides會成為騙子,並且假設撒謊者只會做出錯誤的陳述,那麼陳述就是錯誤的。 因此,假設該陳述為真會使我們得出結論,該陳述為假。 這是一個矛盾,因此陳述式為真的選項是不可能的。 這留下了第二個選擇:它是假的。

如果我們假設該陳述是錯誤的,並且Epimenides謊稱所有克里特人都是撒謊者,那麼必須至少有一位誠實的克里特人。 這並不導致矛盾,因為不需要此克里特島為Epimenides。 這意味著Epimenides可以在知道至少一個誠實的Cretan並撒謊這個特定的Cretan的情況下說所有克里特人都是騙子。 因此,從該陳述為假的假設出發,並不能得出該陳述為真的結論。 因此,我們可以避免將“所有克里特人都是騙子”的陳述視為虛假陳述,這是由說謊的克里特島Epimenides提出的,這是一個悖論。 上面的托馬斯·福勒(Thomas Fowler)(和許多其他人)犯的錯誤是,認為“所有克里特人都是騙子”的否定是“所有克里特人都是誠實的”(一個悖論),而事實上,否定是“存在一個克里特人,是誰?誠實”或“並非所有克里特島人都是騙子”。

Epimenides悖論可以稍作修改,以免上述解決方案的出現,就像在Eubulides的第一個悖論中那樣,而是導致不可避免的自我矛盾。 Epimenides問題的悖論版本與一類更困難的邏輯問題密切相關,包括騙子悖論,Socratic悖論和Burali-Forti悖論,所有這些都具有Epimenides共同的自指點。 實際上,Epimenides悖論通常被歸類為騙子悖論的變體,有時兩者沒有區別。 對自我參照的研究導致了二十世紀邏輯和數學的重要發展。

換句話說,一旦意識到“所有克里特人都是騙子”是不真實的,這就不是悖論,而是意味著“並非所有克里特人都是騙子”,而不是假設“所有克里特人都是誠實的”。

也許更好,因為“所有克里特人都是撒謊者”是一個真實的陳述,並不意味著所有克里特人都必須一直撒謊。 實際上,克里特島人經常會說實話,但從撒謊者容易被欺騙以獲取不誠實收益的意義上說,仍然都是騙子。 考慮到“所有克里特人都是騙子”直到19世紀才被視為悖論,這似乎解決了所謂的悖論。 當然,如果“所有克里特人都是連續說謊者”實際上是正確的,那麼詢問克里特人是否誠實將始終引出不誠實的回答“是”。 因此可以說,最初的主張與其說是無效的,不如說是自相矛盾的。

對矛盾的上下文解讀也可能為悖論提供答案。 最初的短語是:“克里特島人,總是撒謊,邪惡的野獸,無聊的肚子!” 主張不是內在的悖論,而是主張從Epimenides來的克里特人的觀點。 對他的人民的陳規定型觀念並不是要對整個人民構成絕對的陳述。 相反,這是關於他們在宗教信仰和社會文化態度方面的立場的主張。 在他的詩歌上下文中,該短語特定於某種信仰,這是卡里馬丘斯在其關於宙斯的詩歌中重複的上下文。 進一步,對這個悖論的更嚴厲的回答只是,當說謊者是在陳述虛假,而陳述中沒有任何東西斷言所有所說的都是虛假的,而是“永遠”在撒謊。 這不是對事實的絕對陳述,因此我們不能斷言Epimenides對此陳述存在真正的矛盾。

短語的由來
Epimenides是一位公元前6世紀的哲學家和宗教先知,與克里特島的普遍看法相反,他提出宙斯是不朽的,如以下詩歌所示:

他們為你築了一座墳墓,哦,聖潔,高高的。
克里特人,總是撒謊,邪惡的野獸,懶散的肚子!
但是你還沒有死:你永遠活著,永遠安息,
因為在你裡面,我們生活,移動並擁有我們的存在。
— Epimenides,克里蒂卡

克里特人的謊言否認了宙斯的永生。

詩人Callimachus在他對宙斯的讚美詩中引用了“克里特人,總是撒謊”一詞,其神學意圖與《 Epimenides》相同:

宙斯(O Zeus),有人說你生於艾達山上。
宙斯(O Zeus)說,其他人在阿卡迪亞(Arcadia)說;
父親撒謊了這些或那些嗎? —“克里特人永遠都是騙子。”
耶和華阿,是的,墳墓是克里特人為你建造的。
但是你沒有死,因為你永遠。
—卡里馬丘斯,讚美詩我到宙斯

出現是邏輯矛盾
克里特人斷言所有克里特人一直都是撒謊者的邏輯上的矛盾可能對Epimenides或Callimachus都沒有發生過,他們倆都用這句話來強調自己的觀點,但並不具有諷刺意味,這也許意味著所有克里特人都是例行公事,但並非唯一。

在公元1世紀,保羅提到這句話的確是“他們自己的先知之一”所說的話。

克里特島自己的一位先知曾這樣說:“克里特人總是撒謊,邪惡的蠻族,無聊的肚子”。
他肯定說了實話。 出於這個原因,請嚴肅地糾正它們,以使它們聽起來像是信仰,而不是注意猶太人的寓言和對真理背棄的人的誡命。
—提多書,1:12-13

公元2世紀後期,亞歷山大·克萊門特(Clement of Alexandria)未能表明邏輯悖論的概念是一個問題:

使徒保羅在寫給提圖斯的書信中要警告提圖斯,克里特人不相信基督教的一個真理,因為“克里特人總是撒謊”。 為了證明他的主張是正確的,使徒保羅引用了Epimenides。
-基質1.14

在4世紀初,聖奧古斯丁在《反對院士們》(III.13.29)中重述了密切相關的騙子悖論,但沒有提及Epimenides。

在中世紀,以不便為標題研究了許多形式的說謊者悖論,但這些形式與Epimenides並沒有明確的聯繫。

最終,在1740年,皮埃爾·貝勒(Pierre Bayle)的《歷史詞典》(Dictionnaire Historique et Critique)第二卷明確將Epimenides與悖論聯繫起來,儘管貝勒(Bayle)將悖論標記為“自以為是”。

其他作者的參考
Epimenides的所有作品現在都已丟失,只能通過其他作者的引用才能知道。 Epimenides Cretica的語錄由RN Longenecker,“使徒行傳”,在《 Expositor聖經評論》第9卷,Frank E. Gaebelein,編輯(大瀑布城,密歇根州:Zondervan Corporation,1976–1984)中,第1頁476. Longenecker依次引用了MD Gibson的Horae Semiticae X(劍橋:劍橋大學出版社,1913年),第40頁,“敘利亞”。 Longenecker在腳註中指出以下內容:

錫爾。 絕版的版本來自錫爾。 教會的父親梅爾夫(可能是根據Mopsuestia的西奧多·西奧多(Theodore of Mopsuestia)的作品創作的)的父親Isho’dad,JR哈里斯將其翻譯回了Gr。 見Exp [“ The Expsitor”] 7(1907),第336頁。

在邏輯上下文中對Epimenides的傾斜引用出現在WE Johnson,Mind(新叢書),第1卷,第2期(1892年4月),第235-250頁的“邏輯演算”中。 約翰遜在腳註中寫道:

舉例來說,比較一下“表觀者是騙子”或“那表面是紅色”所提供的謬論場合,可以將其解析為“所有或某些表述者為假,”,“所有或某些表述都是錯誤的”。是紅色的。”

Epimenides悖論明確出現在“基於類型理論的數學邏輯”中,作者是Bertrand Russell,在《美國數學雜誌》,第30卷,第3期(1908年7月),第222-262頁,下面打開:

該類問題中最古老的矛盾是Epimenides。 Epimenides克里特島人說,所有克里特人都是騙子,克里特人的所有其他聲明當然都是謊言。 這是謊言嗎?

在那篇文章中,羅素將Epimenides悖論作為討論其他問題的出發點,其中包括Burali-Forti悖論和現在稱為羅素悖論的悖論。 自從羅素(Russell)起,在邏輯上反复提到了Epimenides悖論。 這些參考文獻中最典型的是道格拉斯·霍夫施塔特(Douglas Hofstadter)的哥德爾(Gödel),埃舍爾(Escher),巴赫(Bach),這使悖論在自我參考的討論中佔有重要地位。

評論
在開始之前,應該澄清的是,已經證明說謊者只會做出錯誤的陳述。 這個定義在邏輯研究中很常見,如果將其表述為“所有克里特人都是陳述總是錯誤的人”,那麼就可以以較少的歧義(但是也可以避免太多的複雜性)來獲得這種悖論。

遵循這個定義,乍一看,這種說法似乎是自相矛盾的,因為Epimenides聲稱自己是在撒謊(參見騙子悖論)。 這不是真的,因為即使該語句可能不正確,也可能是錯誤的。 如果我們假設這是真的,那麼Epimenides肯定像其他Cretan一樣在撒謊,因此這種肯定是錯誤的,並且會形成自相矛盾。 但是,如果我們假設它是錯誤的,那麼我們就不會產生矛盾,因為如果所有克里特人的謊言都是錯誤的,則意味著至少有一個克里特人(不一定是Epimenides)可以說出真相。 因此,該語句很可能為假,並且此語句不是真正的悖論。

這是一個錯誤的悖論,因為實際上它在第一個命題中就犯了謬論:所有克里特人都是騙子。 命題必須基於已證明的事實,而這並不是真正的已證明的事實,而是必須被證明是正確的不確定性。 您無法就未定的命題爭論不休。 您必須從一個事實開始。 而且我們確實知道Epimenides是Cretan(已證明事實)並且聲稱是(已證明事實),因此我們必須從這一方面開始推理:

Epimenides是克里特島
Epimenides說是
→Epimenides說實話。

從那裡您會得到:

所有克里特人總是撒謊
Epimenides是克里特島人,有時說實話
→那麼肯定所有克里特人總是撒謊是錯誤的

完成正確的姿勢:

並非所有克里特島人總是撒謊(事實證明)
Epimenides說是(主張)
→Epimenides的謊言(結論,已證明的事實)

因此,這種悖論可以再次提出:“如果Epimenides說謊,他就是騙子。” 但是,如果我們首先接受說謊者的定義,就像總是在說謊的人所說的那樣,那麼邏輯方法又再次打破了悖論:

Epimenides,作為一個克里特島人,自稱是騙子:總是撒謊的人。
我們知道Epimenides有時會說實話
→那麼Epimenides總是說謊是錯誤的

而且由於他是克里特人,所以所有克里特人總是撒謊是錯誤的。

總而言之,這種錯誤的悖論基於兩個謬誤:一個命題被認為是理所當然的事,而一個詞彙謬論則混淆了“騙子”和“總是說謊的人”的概念。 純粹地說,不能說某人“是”說謊者; 它不是本質,而是一種狀態。 像Epimenides一樣可以撒謊,但也可以說實話。 撒謊並不能使你總是說謊。 這就是為什麼在推理之前澄清定義很重要的原因:撒謊者是偶爾撒謊的人,還是撒謊者總是撒謊的人。 在第一種情況下,如果我們將“說謊者”定義為偶爾說謊的人,則悖論並非如此,而是一個帶有錯誤結論的謬論:

Epimenides是個騙子(有時他撒謊)
Epimenides是克里特島
→所有克里特島人都是騙子(偶爾撒謊)

不能從這些命題中得出結論。 目前尚不清楚所有克里特島人是否都是撒謊者。 已知只有Epimenides。


所有克里特島人都是騙子,我是克里特島,然後我撒謊。 因此,這句話說的是謊言,每增加一個語素,便要說謊。

價值觀念:

大家
騙子
克里特島。

Lie或Ni fu ni fa說,要弄清這個矛盾,就必須應用模糊邏輯,5建立起它說出真相的結論。

您想比較信息

公民=克里特人/所有“該除法結果為1”

所有公民都想計數,為此必須計算帳戶:

本類別
人(真實)
{
必須知道“個人=全部”(類別=本類別+公類別)
如果信息等於真理
確定個人是一個人=真理
如果信息等於謊言
確定個人是一個人=騙子
在任何其他情況下
空值對人
}
如果人(真相)是騙子,則
一個被添加到騙子類別
如果人(真相)是真相,那麼
一個被添加到真實帳戶
任何其他情況
ni fu ni fa類別中添加了一個
結束計數
現在,將“謊言計數”與每個人的價值進行比較。

如果它們相等,那麼所有克里特島人都是騙子。

此示例表明,每個人都是特定案例的騙子,而不是所有可能出現的案例的騙子。 如果假設它們適用於所有情況,則涉及一個悖論。 因此,除非對所有案例進行逐一檢查,否則該聲明僅適用於已處理的信息,而不適用於尚未處理的信息。 當假設絕對值時,這種悖論經常被用在真正的蘇格蘭人的謬誤中。

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庫裡的悖論

庫裡的悖論是一種悖論,其中僅從句子C的存在就證明了任意主張F,而句子C本身說“如果C,則F”,只需要一些顯然無害的邏輯推導規則。 由於F是任意的,因此具有這些規則的任何邏輯都可以證明一切。 悖論可以用自然語言和各種邏輯表達,包括集合論,lambda微積分和組合邏輯的某些形式。

悖論以邏輯學家Haskell Curry命名。 由於它與洛伯定理的關係,它在馬丁·雨果·洛伯之後也被稱為洛伯悖論。

用自然語言
“如果是A,則是B”形式的聲明稱為有條件聲明。 庫裡悖論使用了一種特殊的自我指稱條件句,如以下示例所示:

如果這句話是正確的,那麼德國與中國接壤。

儘管德國沒有與中國接壤,但例句肯定是自然語言的句子,因此可以分析該句子的真實性。 悖論來自於此分析。 分析包括兩個步驟。

首先,可以使用常見的自然語言證明技術來證明例句是正確的。

其次,例句的真實性可以用來證明德國與中國接壤。 因為德國不與中國接壤,所以這表明其中一個證據有誤。

“德國與中國接壤”的主張可以用任何其他主張代替,並且該判決仍然可以證明。 因此,每個句子似乎都是可以證明的。 由於證明僅使用公認的推論方法,並且由於這些方法似乎都不正確,因此這種情況是自相矛盾的。

非正式證明
證明條件句子(句子形式為“如果A,那麼B”的標準方法)的標準方法稱為“條件證明”。 在該方法中,為了證明“如果A,則B”,首先假設A,然後在該假設下B被證明是正確的。

為了產生上述兩個步驟中描述的庫裡悖論,請將此方法應用於句子“如果該句子為真,則德國與中國接壤”。 這裡的A,“這句話是正確的”,是指整個句子,而B是“德國與中國接壤”。 因此,假設A與假設“如果A,則B”相同。 因此,在假設A中,我們同時假設了A和“如果A,則B”。 因此,根據慣用法,B是正確的,並且我們已經證明“如果這句話是正確的,那麼“德國與中國接壤”就是正確的。” 通常,通過假設和推論得出結論。

現在,由於我們已經證明“如果這句話是正確的,那麼’德國毗鄰中國’是正確的”,那麼我們就可以再次採用慣用語,因為我們知道“這句話是正確的”主張是正確的。 這樣,我們可以推斷出德國與中國接壤。

正式證明

句子邏輯
上一節中的示例使用了非形式化的自然語言推理。 庫裡悖論也出現在形式邏輯的某些變體中。 在這種情況下,它表明如果我們假設存在一個形式句子(X→Y),其中X本身等於(X→Y),那麼我們可以用形式證明來證明Y。 這種形式證明的一個例子如下。 有關本節中使用的邏輯符號的說明,請參閱邏輯符號列表。

X:=(X→Y)
假設,起點,等同於“如果此句子為真,則為Y”

X→X
身份定律

X→(X→Y)
因為X等於X→Y等於1,所以用2代替右邊

X→Y
從3起收縮

X
用1代替4

ÿ
從5和4通過modus ponens

另一種證明是通過皮爾斯定律。 如果X = X→Y,則(X→Y)→X。這與皮爾斯定律((X→Y)→X)→X和慣性法一起意味著X,然後是Y(如上述證明)。

因此,如果Y在形式系統中是不可證明的陳述,則該系統中沒有陳述X使得X等於蘊涵(X→Y)。 相比之下,上一節顯示了在自然(非形式化)語言中,對於每個自然語言陳述Y,都有一個自然語言陳述Z,使得Z等於自然語言中的(Z→Y)。 即,Z為“如果該句子為真,則為Y”。

在已知Y的分類的特定情況下,只需很少的步驟即可揭示矛盾之處。 例如,當Y為“德國與中國接壤”時,已知Y為假。

X =(X→Y)
假設

X =(X→假)
替代Y的已知值

X =(¬X∨錯誤)
意義

X =¬X
身份

天真的集合論
即使基本的數學邏輯不接受任何自我指稱的句子,某些形式的天真集理論仍然容易受到庫裡悖論的影響。 在允許無限制理解的集合理論中,我們仍然可以通過檢查集合來證明任何邏輯陳述Y

X = def {x ∣ x∈x→Y}。
假設ε優先於→和both,則證明按如下方式進行:

X = {x ∣ x∈x→Y}
X的定義

x = X→(x∈x↔X∈X)
成員相等集的替換

x = X→((x∈x→Y)↔(X∈X→Y))
在雙條件的兩側加一個結果(從2開始)

X∈X↔(X∈X→Y)
固結定律(從1和3開始)

X∈X→(X∈X→Y)
雙條件消除(從4開始)

X∈X→Y
收縮(從5起)

(X∈X→Y)→X∈X
雙條件消除(從4開始)

X∈X
方式(6和7)

ÿ
方式(8和6)

步驟4是一致集理論中唯一無效的步驟。 在Zermelo–Fraenkel集理論中,將需要一個額外的假設來說明X是一個集,這在ZF或其擴展ZFC(帶有選擇公理)中無法得到證明。

因此,在一致集合論中,對於假Y,不存在集合{x ∣ x∈x→Y}。這可以看作是羅素悖論的一種變體,但並不完全相同。 關於集合論的一些建議試圖解決羅素的悖論,不是通過限制理解規則,而是通過限制邏輯規則,以便它可以容忍所有非其自身集合的集合的矛盾性質。 像上面的證明這樣的證明的存在表明這樣的任務不是那麼簡單,因為上面證明中使用的至少一個推導規則必須被省略或限制。

λ演算
咖哩的悖論可以用無類型的Lambda演算來表達,並通過有限的最小邏輯來豐富。 為了應付lambda演算的句法限制,m表示包含兩個參數的蘊涵函數,即lambda項((m A)B)應等效於通常的中綴符號A→B。任意公式Z可以是通過定義λ函數N:=λp證明。 ((mp)Z)和X:=(YN),其中Y表示Curry的定點組合器。 然後,根據Y和N的定義,X =(NX)=((m X)Z),因此可以在演算中復制以上的句法邏輯證明:

X((m X)X)由最小邏輯公理A→A⊢((m X)((m X)Z)),因為X =((m X)Z)⊢((m X)Z)由極小邏輯⊢X的定理(A→(A→B))⊢(A→B),因為X =((m X)Z)⊢Z由模態A構成,(A→B)⊢B由X和(( m X)Z)

在簡單類型的lambda演算中,定點組合器無法鍵入,因此不被接受。

組合邏輯
庫裡悖論也可以表達為組合邏輯,其表達能力與λ演算具有同等的表達力。 任何lambda表達式都可以轉換為組合邏輯,因此在lambda微積分中對Curry悖論的實現進行翻譯就足夠了。

上述項X在組合邏輯中轉換為(rr),其中

r = S(S(K m)(SII))(KZ);
因此
(rr)=((m(rr))Z)。

討論區
Curry悖論可以用支持基本邏輯運算的任何語言來表達,這些語言還允許將自遞歸函數構造為表達式。 支持悖論建構的兩種機制是自我參照(從句子中引用“這個句子”的能力)和天真集合論中的不受限制的理解。 自然語言幾乎總是包含許多可用於構造悖論的功能,就像許多其他語言一樣。 通常,向語言添加元編程功能會添加所需的功能。 數學邏輯通常不支持顯式引用其自身的句子。 然而,哥德爾不完備性定理的核心是觀察到可以添加不同形式的自我參照。 參見哥德爾編號。

無限制理解的公理增加了在集合論中構造遞歸定義的能力。 這個公理不受現代集合論的支持。

證明的構造中使用的邏輯規則是條件證明的假設規則,收縮規則和慣用方式。 這些包含在最常見的邏輯系統中,例如一階邏輯。

一些形式邏輯的後果
在1930年代,Curry悖論和相關的Kleene-Rosser悖論在顯示基於自遞歸表達式的形式邏輯系統不一致方面起了主要作用。 這些包括lambda演算和組合邏輯的某些版本。

Curry從Kleene-Rosser悖論開始,推論核心問題可以用這個簡單的Curry悖論來表達。 他的結論可以說是說,組合邏輯和拉姆達演算不能作為演繹語言保持一致,而仍然允許遞歸。

在對有害(演繹)組合邏輯的研究中,庫裡(Curry)在1941年認識到這種悖論的含義是,它無限制地暗示了組合邏輯的以下特性是不兼容的:

組合完整性。 這意味著抽象運算符在系統中是可定義的(或原始的),這是對系統表示能力的要求。

演繹完整性。 這是對可導性的要求,即在具有實質性含義和慣用語形式的形式系統中,如果根據假設X證明Y,則也存在X→Y的證明。

術語
自然語言和數學邏輯都基於斷言某些陳述為真。 該語句可以表示為邏輯(或布爾)表達式(或公式),可以對其進行評估以得出true或false的值。 語句是一種語句或邏輯表達式,在被求值時將聲明其為真值。

也可以以更複雜的方式考慮示威。 陳述可以通過您主張或相信的陳述以及確定性的等級來限定。 但是,對於邏輯,上面給出的簡單定義就足夠了。

存在問題
這個悖論類似於,

騙子的悖論
羅素悖論
其中每個悖論都試圖給不存在的事物起一個名字。 這些悖論都試圖為方程的解給出名稱或表示,

X =¬X
請注意,悖論不是強制執行¬X語句而引起的,因為這樣的語句將是謊言。 它源於對聲明的審議和命名。 悖論是通過將¬X形式的表達式命名或表示為X來產生的。在Curry悖論的情況下,否定是由蘊涵構成的,

X = X→假=¬X∨假=¬X
布爾變量X的域是集合{true,false}。 但是,對上述方程式的解決方案都不為真或為假。 因此,宣稱X的存在一定是錯誤的,並且將¬X表達式命名為X是一個謊言。

矛盾的是,總是可以構造一個其值不存在的表達式。 這可以使用“ this statement”來實現,但是還有許多其他語言功能,這些功能允許構建不存在的表達。

表達矛盾的語言資源
可以用支持基本邏輯運算的任何語言來表達Curry的悖論,這也允許將自動遞歸函數構造為表達式。 下面的列表提供了一些支持悖論構造的機制,但是列表並不詳盡。

自我參考; “這個句子”。
通過包含名稱的表達式的命名法。
應用樸素集理論(不受限制的理解)。
Lambda表達式。
一個單詞中的一個Eval函數。

構建證據所使用的邏輯規則是:

假設規則
收縮
方式

然後可以使用自動遞歸函數來定義終止計算,該終止計算的值不是方程的解。 在庫裡悖論中,我們使用蘊涵來構造一個否定詞,該否定詞會建立一個沒有解的方程式。

然後,遞歸表達式表示一個不存在的值。 邏輯定律僅對{true,false}中的布爾值有效,因此對錶達式的任何保留都可能是錯誤的。

自然語言幾乎總是包含許多可用於構造悖論的資源,就像許多其他語言一樣。 通常,為一種語言添加元編程功能會添加必要的功能。

數學邏輯通常不容許明確引用其自身的句子。 但是,哥德爾不完備性定理的核心是觀察到可以添加自我參照。 參見哥德爾編號。

不受限制的理解公理增加了在集合論中構造遞歸定義的能力。 這個公理不受現代集合論的支持。

一些形式邏輯的後果
在1930年代,Curry悖論和相關的Kleene-Rosser悖論在表明基於自遞歸表達式的形式邏輯系統不一致方面發揮了重要作用。

λ演算
組合邏輯

Curry從Kleene-Rosser悖論開始,推論出中心問題可以用Curry的這個更簡單的悖論來表達,他的結論可以說是說組合邏輯和Lambda計算不能作為一種演繹語言連貫,允許遞歸。

在對錶示(演繹)組合邏輯的研究中,庫裡(Curry)在1941年認識到這種悖論的含義是,它無限制地暗示了組合邏輯的以下特性是不兼容的:

組合完整性。 這意味著抽象運算符在系統中是可定義的(或原始的),這是對系統表示能力的要求。
演繹完整性。 這是一個可推導性要求,即在具有內蘊和物質模態形式的形式系統中,如果從假設X可以推導Y,那麼也存在X→Y的證明。

解析度
本節未引用任何來源。 請通過在可靠來源中添加引文來幫助改進本節。 無法查證的內容可能被提出異議而移除。
查找來源:“ Curry的悖論” –新聞•報紙•書籍•學者•JSTOR(2019年8月)(了解如何以及何時刪除此模板消息)

本部分的事實準確性存在爭議。 相關討論可以在Talk:Curry的悖論上找到。 請幫助確保有爭議的陳述來源可靠。 (2019年8月)(了解如何以及何時刪除此模板消息)

請注意,與說謊者悖論或羅素悖論不同,庫裡的悖論並不取決於所使用的否定模型,因為它是完全無否定的。 因此,即使相矛盾的邏輯不受騙子悖論的影響,但仍然容易受到這種悖論的影響。

Lambda演算中沒有解析度
阿隆佐·丘奇(Alonzo Church)的lambda演算的起源可能是“如何解決方程式,以提供函數定義?”。 這是等效的,

fx = y⟺f =λxy

如果只有一個函數f滿足方程fx = y,則此定義有效,否則無效。 這是Stephen Cole Kleene和Haskell Curry通過組合邏輯和Lambda微積分發現的問題的核心。

情況可以與定義
y = x 2 x = y。

只要平方根僅允許正值,此定義就可以了。 在數學中,存在量化變量可以表示多個值,但一次只能表示一個。 存在量化是一個方程的許多實例的析取。 在每個方程式中,變量的一個值。

但是,在數學中,沒有自由變量的表達式必須只有一個值和一個值。 因此4只能表示+2。但是,沒有方便的方法將lambda抽象限制為一個值或確保有一個值。

Lambda演算可以通過傳遞與參數相同的函數來進行遞歸。 這允許fx = y對f有多個或沒有解的情況。

如果僅允許代表一個方程式的單個解的lambda抽象,則可以將Lambda微積分視為數學的一部分。 其他lambda抽像在數學上是不正確的。

咖哩的悖論和其他悖論在Lambda演算中出現,因為被認為是演繹系統的Lambda演算的不一致。 另請參見演繹λ演算。

Lambda演算領域

Lambda演算是其自身領域中的一致理論。 但是,將lambda抽象定義添加到通用數學中並不一致。 Lambda術語描述了Lambda演算域中的值。 每個lambda項在該域中都有一個值。

當將表達式從數學轉換為lambda演算時,lambda演算項的域並不總是與數學表達式的域同構。 這種同構的缺乏是明顯矛盾的根源。

不受限制的語言解析

有許多語言構造可隱式調用一個可能沒有解決方案或有很多解決方案的方程式。 解決此問題的合理方法是將這些表達式在語法上鍊接到一個存在的量化變量。 該變量以在普通人類推理中有意義的方式表示多個值,但在數學中也有效。

例如,允許Eval函數的自然語言在數學上不一致。 但是,用這種自然語言對Eval的每次調用都可以以一致的方式轉換為數學。 將Eval轉換為數學是

令x = x中的Eval。
因此,如果s =“評估→y”,

令x = x→y在x中。
如果y為假,則x = x→y為假,但這是一個謬論,而不是悖論。

變量x的存在在自然語言中是隱含的。 當自然語言翻譯成數學時,將創建變量x。 這使我們能夠在保持數學完整性的同時使用具有自然語義的自然語言。

形式邏輯解析
形式邏輯中的參數始於假設將命名(X→Y)的有效性設為X。但是,這不是有效的起點。 首先,我們必須推斷出命名的有效性。 以下定理很容易得到證明,並表示這樣的命名:

∀A,∃X,X = A.
在上面的語句中,公式A命名為X。現在嘗試用(X→Y)實例化A。但是,這是不可能的,因為∃X的範圍在∀A的範圍內。量詞的使用Skolemization可以逆轉:

∃f,∀A,f(A)=A。
但是,現在實例化給出了

f(X→Y)= X→Y,
這不是證明的出發點,不會導致矛盾。 沒有其他實例化A導致悖論的起點。

集合論中的解析

在Zermelo–Fraenkel集理論(ZFC)中,無限制理解的公理被一組允許構建集的公理代替。 因此,Curry的悖論無法在ZFC中陳述。 ZFC的發展是對Russell悖論的回應。

分類
悖論 邏輯

理髮店悖論

理髮店悖論由劉易斯·卡洛爾(Lewis Carroll)在三頁的題為“邏輯悖論”的文章中提出,該論文發表在1894年7月的《心靈》雜誌上。 這個名字來自卡洛爾在文章中用來說明悖論的“裝飾性”短篇小說。 它以前以他的寫作和書信中的幾種替代形式存在,並不總是涉及理髮店。 卡洛爾將其描述為說明“假設理論中的一個非常現實的困難”。 從現代邏輯的觀點來看,與其說是一個悖論,不如說是一個簡單的邏輯錯誤。 儘管代數邏輯方法還沒有得到廣泛的理解(即使在邏輯學家中也是如此),但現在它主要是作為代數邏輯方法發展的一個插曲,儘管這個問題仍在繼續就蘊涵和模態邏輯理論進行討論。

悖論
在故事中,喬叔叔和吉姆叔叔正走到理髮店。 他們解釋說,有3個理髮店在店裡生活和工作,艾倫(Allen),布朗(Brown)和卡爾(Carr),他們中的一些或全部可能都在裡面。我們得到了兩條信息,可以據此得出結論。 首先,商店肯定是開著的,所以至少必須有一個理髮師。其次,據說艾倫非常緊張,因此除非布朗和他一起去,否則他永遠不會離開商店。

現在,按照吉姆叔叔的說法,卡爾是個很好的理髮師,他想知道卡爾是否會剃光他。 喬叔叔堅持認為卡爾一定會在裡面,並聲稱他可以從邏輯上證明這一點。 吉姆叔叔要求提供這一證明。

喬叔叔的論點如下:

假設卡爾不在。 我們將證明這個假設產生了矛盾。 如果Carr不在,那麼我們知道:“如果Allen在外面,那麼Brown在裡面”,因為必須有人在“注意商店”。 但是,我們也知道,只要艾倫出去,他都會把布朗帶到他身邊,因此通常來說,“如果艾倫不在,那麼布朗就出去了”。 我們得出的兩個語句是不兼容的,因為如果艾倫不在,那麼布朗就不能同時為In(根據一個)和Out(根據另一個)。 有矛盾。 因此,我們必須放棄關於卡爾不在的假設,並得出卡爾必須在其中的結論。

吉姆叔叔的回答是,這個結論是沒有根據的。 從兩個“假說”的不相容性得出的正確結論是,在我們假設卡爾不在的情況下,它們中假設的(阿倫不在)必須是錯誤的。 然後,我們的邏輯僅允許我們得出以下結論:“如果卡爾不在,那麼艾倫必須一定在其中”。

歷史糾紛
這種矛盾是由於卡洛爾和他的牛津大學同事,威克漢姆邏輯學教授約翰·庫克·威爾遜之間的分歧而引起的,他們兩人之間長期存在對抗。 卡洛爾(Carroll)所代表的其他人也討論了這個問題,約翰·文恩(John Venn),阿爾弗雷德·西奇威克(Alfred Sidgwick)和貝特朗·羅素(Bertrand Russell)等人隨後發表的文章也討論了該問題。 故事中,庫克·威爾遜(Cook Wilson)的觀點以喬叔叔的角色為代表,喬叔叔試圖證明卡爾必須永遠留在商店裡。 當卡洛爾分發問題的私人印刷版時,其他人也持相同觀點。 正如卡洛爾(Carroll)指出的那樣:“在這個奇怪的觀點上,我與大約十二位邏輯學家通信; 到目前為止,對於C的自由,人們的意見也各有不同。”:445-448

簡化版

符號
閱讀原件時,請記住以下幾點:

卡洛爾所謂的“假設”,現代邏輯學家稱之為“邏輯條件”。
喬叔叔總結了他的荒謬證明,英文為“矛盾證明”。
卡洛爾所說的條件性protasis現在被稱為先行條件,同樣地,apodosis也被稱為結果。
符號可用於大大簡化邏輯語句,例如本故事中固有的那些語句:

操作員(姓名) 口語 象徵性的
否定 不是X ¬ ¬X
連詞 X和Y
析取 要么 X或Y
有條件的 如果……然後 如果X那麼Y X⇒Y

注意:X⇒Y(也稱為“含義”)可以用多種方式用英語閱讀,從“ X足以表示Y”到“ Y跟隨X”。 (另請參閱數學符號表。)

重述
為了更輕鬆地重述卡洛爾的故事,我們將採用以下基本陳述:

A =艾倫在商店裡
B =布朗在
C =卡爾在
因此,例如(¬A∧B)表示“艾倫在外面,布朗在裡面”

吉姆叔叔給了我們兩個公理:

現在商店里至少有一個理髮師(A∨B∨C)
艾倫從來沒有離開過布朗(¬A⇒¬B)
喬叔叔提供了一個證明:

帶有邏輯標記的英文縮寫 主要是像徵性的
假設卡爾不在。 H0:¬C
給定NOT C,如果Allen不在,那麼必須滿足Brown 1才能滿足公理1(A1)。 通過H0和A1,¬A⇒B
但是公理2(A2)給出了艾倫·艾弗的觀點
是不在布朗不在(總是¬A則¬B)
通過A2,¬A⇒¬B
到目前為止,NOT C既產生(非A THEN B)又產生(非A THEN Not B)。 因此¬C⇒((¬A⇒B)∧(¬A⇒¬B))
喬叔叔聲稱這些是矛盾的。
因此,卡爾必須在裡面。 ∴C

喬叔叔基本上認為(¬A⇒B)和(¬A⇒¬B)是矛盾的,說相同的前提不能導致兩個不同的結果。

這種自稱矛盾是喬“證明”的癥結所在。 卡洛爾將這種違反直覺的結果作為一個悖論提出,希望能解決當代的歧義。

討論區
在現代邏輯理論中,這種情況不是悖論。 暗示法則調和了喬叔叔所說的不相容的假設。 該法則規定,“如果X則Y”在邏輯上與“ X為假或Y為真”(¬X∨Y)相同。 例如,給定語句“如果您按下按鈕然後指示燈亮”,則在任何給定時刻都必須為未按下按鈕或指示燈點亮。

簡而言之,得到的不是¬C產生矛盾,而是它必須A,因為¬A實際上是產生矛盾的原因。

在這種情況下,這意味著Carr不必進入,但是如果他不在,Allen必須進入。

簡化為公理1
將隱含定律應用於有條件的條件表明,與其相互矛盾,還不只是簡單地重申以下事實:由於商店是開放的,所以Allen,Brown或Carr中的一個或多個都在營業,而另一個則對誰可以或不可以沒有任何限制在店裡。

為了看到這一點,我們主要通過反复應用蘊涵定律來攻擊吉姆的巨大“矛盾”結果。 首先,讓我們分解兩個令人討厭的條件之一:

“如果艾倫缺席,那麼布朗缺席”
“艾倫進場或布朗進場”
(¬A⇒¬B)
(A¬¬B)

替換成

“如果卡爾出局,那麼如果艾倫也出局,那麼布朗入局,如果艾倫出局,那麼布朗出局。”
¬C⇒((¬A⇒B)∧(¬A⇒¬B))

在繼續應用蘊涵律的情況下,

“如果卡爾缺席,那麼如果艾倫也缺席,布朗就在,或者艾倫缺陣,或者布朗就在外面。”
“如果卡爾不在,那麼這兩個都是正確的:艾倫在或布朗在,而艾倫在或布朗在。”
“卡爾在OR或這兩個都是正確的:艾倫在OR布朗在AND艾倫在OR布朗在外面。”
¬C⇒((¬A⇒B)∧(A∨¬B))
¬C⇒((A∨B)∧(A∨¬B))
C∨((A∨B)∧(A¬B))
注意:C∨((A∨B)∧(A¬B)可以簡化為C∨A
因為(((A∨B)∧(A∨BB))就是A

最後,(在右側,我們在括號中進行分配)

“卡爾在或者艾倫在或者布朗在,而卡爾在或者艾倫在或者布朗在外面。”
“包括在內,卡爾在OR艾倫在OR布朗在裡面,並且包括在內,卡爾在OR艾倫在OR布朗在外面。”
C∨(A∨B)∧C∨(A¬B)
(C∨A∨B)∧(C∨A∨¬B)

因此,這兩個立即成為事實的陳述是:“艾倫,布朗或卡爾在其中一個或多個中”,即公理1,而“卡爾在其中或艾倫在其中或布朗在外面”。 顯然,這兩種說法可以同時成為現實的一種方式是在艾倫所在的情況下(因為艾倫的房子是理髮店,而布朗在某個時候離開了商店)。

描述(X⇒Y)⇔(¬X∨Y)如何將其解析為一組有效的語句的另一種方式是將吉姆關於“如果艾倫也缺席……”的表述改寫為“如果卡爾不在而艾倫缺席,那麼布朗在”((¬C∧¬A)⇒B)。

顯示條件兼容
這兩個條件不是邏輯相反的:通過矛盾證明吉姆需要證明¬C⇒(Z∧¬Z),其中Z恰好是一個條件。

(A⇒B)的對立是¬(A⇒B),根據德摩根定律,它解析為(A∧¬B),它與(¬A¬¬B)根本不相同,是A⇒¬B減少到的。

卡羅爾預見到了對這兩個條件的“兼容性”的困惑,並在故事的結尾提到了這一點。 他試圖通過論證“如果卡爾在……中”的含義和假肢被“錯誤地劃分”來澄清這個問題。 但是,應用蘊涵法則完全消除了“ If…”(減少了析取關係),因此不存在任何假名和切趾現象,也不需要反駁。

分類
悖論 邏輯

阿喀琉斯與烏龜悖論

劉易斯·卡羅爾(Lewis Carroll)於1895年為哲學雜誌《心靈》(Mind)撰寫的“烏龜對阿基里斯說了什麼”,是對邏輯基礎的簡短寓言性對話。 標題暗示了芝諾運動的悖論之一,其中阿喀琉斯永遠不會在比賽中超越烏龜。 在卡洛爾的對話中,烏龜向阿基里斯挑戰,用邏輯力使他接受簡單演繹論證的結論。 最終,阿喀琉斯失敗了,因為聰明的烏龜使他陷入了無限的回歸。

對話摘要
討論首先考慮以下邏輯論點:

答:“相同的事物彼此相等”(歐幾里得關係,傳遞屬性的一種弱化形式)
B:“這個三角形的兩端等於相同的東西”
因此,Z:“此三角形的兩側彼此相等”
烏龜問阿基里斯結論是否在邏輯上是從前提得出的,而阿基里斯同意這樣做。 然後,烏龜問阿基里斯(Achilles)是否可能有一個Euclid讀者,他認為該論證在邏輯上是有效的(按順序),同時否認A和B是正確的。 阿喀琉斯承認這樣的讀者可能存在,並且他認為如果A和B為真,則Z必須為真,而尚未接受A和B為真(即拒絕前提的讀者)。

然後,烏龜問阿喀琉斯是否可能存在第二種讀者,他們接受A和B是真實的,但是還不接受這樣的原理:如果A和B都真實,那麼Z必須是真實。 阿基里斯向烏龜授予第二種讀者也可能存在的機會。 然後,烏龜請阿基里斯把烏龜當作第二類讀者。 阿基里斯現在必須在邏輯上強迫烏龜接受Z必須為真。 (烏龜是拒絕論證形式本身,三段論的結論,結構或有效性的讀者。)

在筆記本中寫下A,B和Z之後,阿喀琉斯要求烏龜接受假設:

C:“如果A和B為真,則Z必須為真”

如果阿基里斯將在筆記本中寫下必須接受的內容,烏龜同意接受C,並提出新的論點:

答:“相同的事物彼此相等”
B:“這個三角形的兩端等於相同的東西”
C:“如果A和B為真,則Z必須為真”
因此,Z:“此三角形的兩側彼此相等”

但是既然烏龜接受了前提C,它仍然拒絕接受擴展的論點。 當阿喀琉斯要求“如果您接受A,B和C,您必須接受Z”時,烏龜表示這是另一個假設命題,並建議即使接受C,如果它沒有看到Z,它仍然可能無法得出Z。真相:

D:“如果A,B和C為真,則Z必須為真”

阿基里斯(Achilles)寫下後,烏龜繼續接受每個假設前提,但否認結論必然存在,因為每次它都拒絕假設,如果到目前為止寫下的所有前提都是真實的,則Z必須是真實的:

“最後,我們到了理想賽馬場的盡頭! 現在您接受了A,B,C和D,當然您也接受了Z。”

“我嗎?” 烏龜天真地說。 “讓我們說得很清楚。 我接受A,B,C和D。假設我仍然拒絕接受Z?”

“然後,邏輯將帶您進入喉嚨,並迫使您去做!” 阿喀琉斯得意地回答。 “邏輯會告訴您,’您無能為力。 現在您已經接受了A,B,C和D,那麼您必須接受Z! 因此,您別無選擇,明白了。”

“任何邏輯都足以告訴我,值得寫下來,”烏龜說。 “所以請在筆記本上輸入它。 我們稱它為

(E)如果A和B以及C和D為真,則Z必須為真。
在我同意之前,我當然不需要授予Z。因此,這是相當必要的一步,您知道嗎?”

“我明白了。”阿基里斯說。 他的語氣有些悲傷。

因此,前提列表不斷增長,而且沒有止境,而參數始終採用以下形式:

(1):“相同的事物彼此相等”
(2):“這個三角形的兩側等於相同的事物”
(3):(1)和(2)⇒(Z)
(4):(1)和(2)和(3)⇒(Z)

(n):(1)和(2)以及(3)和(4)以及……和(n − 1)⇒(Z)
因此,(Z):“此三角形的兩側彼此相等”

在每一步中,烏龜都爭辯說,即使他接受了所有已記下的前提,但還有其他前提(如果(1)–(n)的全部為真,則(Z)必須為真)在被迫接受(Z)為真之前,它仍然需要接受。

說明
劉易斯·卡洛爾(Lewis Carroll)表明,歸因於慣常用法的推論產生了一個回歸問題。

P到Q,P /因此Q

或者,換句話說:命題P(是真的)意味著Q(是真的),並且給定P,因此是Q。

之所以出現回歸問題,是因為需要先驗的原理來解釋邏輯原理,這裡是慣用語,一旦解釋了該原理,就需要另一條原理來解釋該原理。 因此,如果因果鏈要繼續下去,則論點將陷入無限回歸。 但是,如果引入了形式系統,而慣用語只是系統內部定義的推理規則,那麼只需在系統內部進行推理就可以遵守。

以此類推,國際象棋是按照一組特定的規則下棋的,當一個人下棋時,他不能質疑或乞求與給定的規則有所不同,而必須遵守這些規則,因為它們構成了遊戲的框架。 但這並不是說國際象棋棋手同意這些規則(例如,考慮規則更改,例如“ pass pass”)。 同樣,一個正式的邏輯系統由推理規則組成,系統用戶必須遵循這些推理規則,當一個人根據該正式系統推理時,他不能質疑或不同於這些推理規則,而必須遵守這些推理規則。因為它們構成了系統的組成部分。 這並不是說根據這種形式系統進行的用戶推理符合這些規則(例如,考慮到建構主義者對被排除中間法則的拒絕和辯證法對不矛盾法則的拒絕)。 通過這種方式,可以將形式化邏輯作為系統視為對無限回歸問題的回應:慣常方法被放置在系統中,而慣常方法的有效性在沒有系統的情況下被避免。

在命題邏輯中,邏輯含義定義如下:

當且僅當命題不是P或Q是重言式時,P才意味著Q。

因此,根據剛剛陳述的邏輯蘊涵的定義,[p∧(P→Q)]⇒Q是有效的邏輯結論。 證明邏輯含義只是轉化為驗證複合真值表是否產生了重言式。 但是,烏龜沒有接受信仰這一解釋所依據的命題邏輯規則。 他要求這些規則也要有邏輯證明。 烏龜和阿喀琉斯人對邏輯含義沒有任何定義。

此外,該故事還暗示了命題解決方案存在的問題。 在命題邏輯系統中,任何命題或變量都不攜帶任何語義內容。 一旦任何命題或變量具有語義內容,該問題就會再次出現,因為語義內容在系統外部運行。 因此,如果說該解決方案有效,那麼就說它僅在給定的正式系統內有效,而在其他方面則無效。

一些邏輯學家(肯尼思·羅斯(Kenneth Ross),查爾斯·賴特(Charles Wright))在條件連接詞和蘊涵關係之間做出了明確的區分。 這些邏輯學家將短語p或q用作條件連接詞,而該術語暗指所主張的暗示關係。

討論
幾位哲學家試圖解決卡洛爾的悖論。 伯特蘭·羅素(Bertrand Russell)在《數學原理》(1903)第38節中簡要討論了這一悖論,區分了暗示(與形式為“ if p,then q”相關)和暗示(與之相關)之間的關係。形式為“ p,因此q”),他認為這是主張的命題之間的關係; 做出區分後,拉塞爾可以否認烏龜試圖將A和B中的Z推論為等同於或依賴於假設“如果A和B為真,則Z為真”的嘗試。

維特根斯坦哲學家彼得·溫奇(Peter Winch)在《社會科學的思想及其與哲學的關係》(1958年)中討論了悖論,他在悖論中指出“得出推論的實際過程畢竟是邏輯的核心”。 ,這是不能用邏輯公式表示的。學習推論不只是關於命題之間明確的邏輯關係的教導;它還可以用來學習邏輯推理。 它正在學習做某事”。 溫奇繼續說,對話的道德性是一堂普通課的一個特例,其結果是,不能適當地將管理某種人類活動形式的規則的適用本身與一系列其他規則相加,因此“人類活動的一種形式永遠不能歸納為一套明確的戒律”。

卡羅爾的對話顯然是對傳統主義關於邏輯真理的障礙的第一個描述,後來由WVO Quine用更為清醒的哲學術語進行了重新闡述。

分類
悖論 邏輯

Catch-22邏輯悖論

第22條軍規(catch 22)是一種自相矛盾的情況,由於規則或限制相互矛盾,個人無法逃脫。 這個詞是由約瑟夫·海勒(Joseph Heller)創造的,他在1961年的小說Catch-22中使用了該詞。

一個例子是:

在需要工作經驗的時候……“在找到一份能給我經驗的工作之前,我怎麼能獲得經驗?” – Brantley Foster,《我的成功秘訣》。

Catch-22通常是由於個人要遵守但無法控制的規則,規定或程序而產生的,因為與規則抗爭就是接受規則。 另一個例子是,某人需要某種東西,而這些東西只能通過不需要而得到(例如,唯一有資格獲得貸款的方法是向銀行證明您不需要貸款) )。 該術語的一個含義是“ catch-22”情況的創造者創造了任意規則,以證明和掩飾自己濫用權力的合理性。

起源與意義
約瑟夫·海勒(Joseph Heller)在他的1961年小說《軍規22》中創造了這個詞,該詞描述了第二次世界大戰中對士兵的荒唐官僚約束。 該詞由陸軍精神科醫生Doc Daneeka引入,他稱“ Catch-22”來解釋為什麼任何要求精神錯亂進行心理評估的飛行員(希望被發現沒有足夠的理智可以飛行並逃脫危險的任務)證明了自己的理智在創建請求中,因此不能被認為是瘋狂的。 此短語還表示由於相互矛盾或相互依存的條件而無法逃脫的困境或困難情況。

“你是說有一個陷阱?”

“當然有收穫,”丹尼卡博士回答。 “軍規22。 任何想擺脫戰鬥職責的人都不是真的瘋了。”

只有一個陷阱,那就是Catch-22,它指出面對現實和緊迫的危險,關心自己的安全是理性思維的過程。 Orr瘋了,可以被擱淺。 他所要做的就是發問。 而且,一旦他這樣做,他將不再發瘋,而將不得不執行更多任務。 如果他不這樣做,奧爾會瘋狂地執行更多的任務並保持理智,但是如果他理智的話,他就必須執行任務。 如果他飛了他們,他會瘋了,不必這麼做。 但是如果他不想,他理智並且必須。 Catch-22條款的絕對簡單性使Yossarian深受感動,並發出敬意的口哨聲。

小說中出現了不同的“ Catch-22”配方。 該術語適用於軍事系統的各種漏洞和怪癖,總是暗示著規則對於那些等級較低的人是不可訪問的並且相對於那些傾斜。 在第6章中,Yossarian(主角)被告知,Catch-22要求他執行其指揮官告訴他的任何事情,無論這些命令是否與該軍官的上級命令相抵觸。

在最後一集中,一位老婦向約瑟里安描述了Catch-22,講述了士兵的暴力行為:

“ Catch-22說,他們有權做我們不能阻止他們做的任何事情。”

“你他媽在說什麼?” 約塞里安(Yossarian)在困惑,憤怒的抗議中對她大喊。 “您怎麼知道它是Catch-22? 誰告訴你這是Catch-22?”

戴著白色安全帽和棍棒的士兵。 女孩在哭。 “我們做錯了什麼嗎?” 他們說。 這些人說不,將他們的球桿末端推開門。 “那你為什麼要把我們趕出去?” 女孩說。 這些人說,“軍規22”。 他們一直說的是“ Catch-22,Catch-22”。 Catch-22是什麼意思? 什麼是Catch-22?”

“他們沒有給你看嗎?” 優薩里人要求,憤怒和痛苦四處張揚。 “你甚至不讓他們讀嗎?”

“他們不必給我們看Catch-22,”老婦人回答。 “法律規定他們不必這樣做。”

“什麼法律規定他們不必這麼做?”

“軍規22。”

根據文學教授伊恩·格雷格森(Ian Gregson)的說法,這位老婦人的敘述更直接地將“ Catch-22”定義為“權力的殘酷操縱”,剝奪了早期情景的“偽造性”。

小說中的其他露面

除了提到無法解決的邏輯難題外,Catch-22被用來解釋或證明軍事官僚作風。 例如,在第一章中,它要求Yossarian在他被限制在醫院病床上的同時,在審查員的信上簽名。 第10章中提到的一個條款彌補了晉升中的漏洞,在任何晉升之後,一個私人一直在利用該漏洞重新獲得私人頭等艙的吸引力。 通過參加AWOL的軍事法庭行動,他被抽空回到了私人級別,但是Catch-22限制了他被送進寨子之前可以這樣做的次數。

在書中的另一點,一個妓女向約薩里安(Yossarian)解釋說,她不能嫁給他,因為他瘋了,而且她絕不會嫁給一個瘋子。 她認為任何男人都會娶一個不是處女的女人為瘋子。 這個封閉的邏輯循環清楚地說明了Catch-22,因為按照她的邏輯,所有拒絕嫁給她的男人都是理智的,因此她會考慮結婚。 但是,一旦男人同意與她結婚,他就會因想與非處女結婚而變得瘋狂,並立即遭到拒絕。

有一次,布萊克船長試圖壓制米洛剝奪少校的食物,原因是沒有簽署少校從來沒有機會簽名的忠誠誓言。 布萊克船長問米洛:“你不反對Catch-22,是嗎?”

在第40章中,Catch-22迫使Korn上校和Cathcart上校將Yossarian提升為Major並將其定為地面,而不是僅僅將他送回家。 他們擔心,如果不這樣做,其他人將拒絕飛行,就像優素里亞人那樣。

數的意義22
海勒原本想用其他數字來稱呼這個短語(因此也叫書),但是他和他的出版商最終決定使用22。 它或多或少被選擇用於諧音。 標題最初是Catch-18,但是在流行的Mila 18提前很短時間發布後,Heller對其進行了更改。

用法
術語“ catch-22”已過濾成英語的常用用法。 海勒(Heller)在1975年的一次採訪中說,該術語無法很好地翻譯成其他語言。

James E. Combs和Dan D. Nimmo認為,“ catch-22”的概念已廣為流行,因為現代社會中有這麼多人面臨著令人沮喪的官僚主義邏輯。 他們寫:

那麼,與組織打交道的每個人都了解Catch-22的官僚主義邏輯。 例如,在高中或大學中,學生可以參加學生自治,這是一種自治和民主的形式,只要學生的校長或校長批准,他們就可以決定自己想要的一切。 這種偽造的民主可以被任意命令所否決,這也許是公民第一次與可能宣稱“開放”和自由主義價值觀,但實際上是封閉的,等級制度的組織相遇。 Catch-22是組織的假設,是不成文的非正式權力法,使組織免於承擔責任和問責制,並使個人出於組織的便利或未知目的而被排斥在荒謬的位置。

與喬治·奧威爾(George Orwell)的“雙重思維”一起,“追趕22”已成為描述被矛盾的規則困住的困境的最公認的方式之一。

替代醫學的一種重要定義被稱為catch 22。 1998年由《新英格蘭醫學雜誌》的前編輯瑪西婭·安傑爾(Marcia Angell)合著的社論中指出:

“現在是科學界停止搭便車替代藥物的時候了。 不能有兩種藥物–傳統藥物和替代藥物。 只有經過充分測試的藥物和沒有經過測試的藥物,有效的藥物以及可能有效或無效的藥物。 一旦對治療進行了嚴格的測試,一開始是否被視為替代就不再重要了。 如果發現合理安全有效,它將被接受。 但是斷言,推測和證明不能代替證據。 替代療法應經過科學測試,其嚴格性不低於傳統療法。”

羅伯特·L·帕克(Robert L. Park)將這個定義描述為合乎邏輯的22條規則,該規則確保了任何被證明行之有效的補充和替代醫學(CAM)方法“將不再是CAM,而將僅僅是醫學”。

在科研中的用途
在研究中,Catch-22反映了科學家對已知未知數的無奈,其中量子計算就是一個很好的例子:如果兩個電子糾纏在一起,使得如果測量結果確定第一個電子在圓的一個位置上,則另一個必須直接佔據一個位置(當它們彼此相鄰並且相隔數光年時,這種關係就成立了)。 量子計算的Catch-22認為,量子特徵僅在不被觀察時才起作用,因此觀察量子計算機以檢查其是否正在利用量子行為會破壞被檢查的量子行為。 海森堡的不確定性原理使我們無法同時知道粒子的位置和動量-如果您測量一個屬性,則會破壞有關另一個屬性的信息。

EC通用數據保護法規:歐盟擴展的隱私法規對人工智能的開發施加了限制,人工智能的開發主要依賴於(大)數據。 除了限制用戶數據收集之外,GDPR還確保即使公司確實收集了個人數據,其在自動決策(標準AI應用程序)中的使用也受到限制。 第22條規定,用戶可以選擇退出自動處理,在這種情況下,公司必須提供符合用戶意願的經過人工審查的替代方案。 使用自動化時,必須向用戶明確說明,並且其應用仍可能因模棱兩可或違反其他規定而受到懲罰,從而使AI成為GDPR兼容機構的Catch-22。

人工智能:如上所述,人工智能依賴於大量的經過驗證的數據,出於個人或商業原因,其中大多數被正確認為是私有的。 由於將看似無害的或受保護的數據無意輸入到本來安全的網站,導致捕獲22。 因此,基於數十個“訪問權”請求,位於牛津的研究員James Pavur發現,他可以訪問來自多家英國和美國公司的個人信息,從購買歷史到信用卡號,再到過去和現在的住所,不一而足。甚至沒有驗證他的身份。 在商業領域,各種積累用於AI的數據的方法無處不在。 對於使用機器學習作為其業務核心技術的初創公司而言,訪問高質量的培訓數據至關重要。 根據Moritz Mueller-Freitag的觀點,“儘管許多算法和軟件工具是開源的,並且在整個研究社區中共享,但是好的數據集通常是專有的並且難以構建。 因此,擁有一個龐大的,特定領域的數據集可以成為競爭優勢的重要來源。” 用戶輸入甚至包括無害的用戶界面,這些界面鼓勵用戶糾正錯誤,例如Mapillary和reCAPTCHA。 因此,網絡用戶逐漸得到培訓,可以在AI的構建中進行合作,以換取對不可驗證信息的訪問,而他的權利通過同意不可思議的條款和條件而被廢除。

未知數未知的問題:這是一種相反的Catch-22情況,在這種情況下,約瑟夫·海勒(Joseph Heller)的約瑟安(Yossarian)尚不知道他今晚害怕乘員駕駛的轟炸機已於昨晚被擊落。 類似的缺陷也解釋了為什麼科學家還沒有找到治療阿爾茨海默氏病的方法。 -他們不知道到底是什麼。 他們可以看到病人會發生什麼,並預測會發生什麼,但不了解其最終原因,為什麼會影響到人們,或者症狀會隨著時間而惡化。

評估提交給《科學》雜誌的新穎解釋:如果在現有知識的背景下展示了來自新研究的新知識,則該過程可以確保所得出結論的可信度。 由於知識本質上是進化的,因此較早的知識通常為以後的增量奠定基礎。 但是,學術限制通常會促使研究人員避免“跳出框框”。 對於尋求重新解釋較早研究的研究人員而言,這會導致Catch-22問題,這是從與廣泛認可的現有解釋不同的現有數據中推論得出的。 例如,目前對北美和歐洲對更新世冰蓋的了解最終是基於阿加西茲(Agassiz)1842年對覆蓋整個大陸大部分北部的厚冰河的解釋。 出版50年來,幾位經驗豐富的地質學家提請注意其嚴重的缺點。 然而,阿加西(Agassiz)的解釋是現在向世界各地的學生傳授的“規範”版本的基礎,沒有任何警告。 今天,研究人員對現有證據進行嚴格的審查,得出的結論與“厚更新世冰”解釋大不相同的結論將很難通過審查小組並進入各種第四紀期刊。 當他們試圖在Wikipedia上發表其評論摘要作為文章時,這些作者的Catch-22挫敗感會被放大,他們可能會發現懷疑的編輯根據邏輯似乎是“原始研究”來還原其投稿。

邏輯
由海勒(Heller)制定的原型catch-22涉及美國陸軍航空兵轟炸機約翰·約薩里安(John Yossarian)的案子,他希望從戰鬥飛行中被禁飛。 只有在中隊的飛行外科醫生對他進行評估並發現他“不適合飛行”之後,這種情況才會發生。 “不合格”將是任何飛行員誰願意這樣的飛行危險的任務,作為一個將不得不狂志願者可能死亡。 但是,要進行評估,他必須請求評估,這一行為被認為足以證明自己是理智的。 這些條件使得不可能被宣佈為“不合適”。

“ Catch-22”的意思是“任何想擺脫戰鬥職責的人都不是真正的瘋子”。 因此,要求進行心理健康評估的飛行員是理智的,因此必須在戰鬥中飛行。 同時,如果飛行員不要求進行評估,他將永遠不會得到評估,因此永遠不會發瘋,這意味著他也必須在戰鬥中飛行。

因此,Catch-22可以確保任何飛行員都不會因精神錯亂而停飛。

這種情況的合乎邏輯的表述是:

1.(E→(I∧R))要使一個人因精神錯亂而被免職(E),他必須既瘋了(I)又要求評估(R)。 (前提)
2.(I→¬R)瘋人(I)不要求評估(¬R),因為他沒有意識到自己瘋了。 (前提)
3.(¬IV¬R)一個人不是瘋子(¬I)或不要求評估(¬R)。 (2.實質意義)
4.(¬(I∧R))任何人都不能同時發瘋(I)和要求評估(R)。 (3.和摩根定律)
5.(¬E)因此,任何人都不能被免職飛行(¬E),因為沒有人可以既瘋了又要求評估。 (4.,1。和收費方式)
哲學家勞倫斯·戈德斯坦(Laurence Goldstein)認為,“飛行員的困境”在邏輯上甚至都不是在任何情況下都成立的條件。 這是一個“空置的雙條件”,最終毫無意義。 戈德斯坦寫道:

哲學家勞倫斯·戈德斯坦(Laurence Goldstein)認為,“飛行員的困境”在邏輯上甚至都不是在任何情況下都成立的條件。 這是一個“空置的雙條件”,最終毫無意義。 戈德斯坦寫道:

問題是:看起來像是在免除執行危險任務的情況下可以免除飛行員的條件的陳述,但並沒有陳述

(i)“只有在繼續的情況下,飛行員才能免除執行危險任務的責任”(其中“繼續”是矛盾的)
(這可能是掩飾不愉快真相的一種卑鄙的方式),但毫無價值的空話

(ii)“只有在不是那種情況下才可以原諒某飛行員執行危險任務的情況下,才可以免除其責任”
如果抓獲物是(i),那還不算太糟–飛行員至少能夠發現他在任何情況下都無法避免戰鬥任務。 但是Catch-22的情況更糟–亂七八糟的詞無濟於事。 它沒有內容,根本沒有傳達任何信息。

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飲酒者悖論

飲酒者悖論(也稱為飲酒者定理,飲酒者原理或飲酒原理)是經典謂詞邏輯的一個定理,可以說為“酒館中有人,如果他在喝酒,那麼每個人都會飲酒。酒吧在喝酒。” 它由數學邏輯學家Raymond Smullyan推廣,他在1978年的書《這本書的名字是什麼?》中稱其為“飲酒原理”。

該陳述的明顯自相矛盾性質來自其通常以自然語言陳述的方式。 可能有人會導致其他人喝酒,或者有人可能整夜都以為一個人總是最後一個喝酒,這似乎是違反直覺的。 第一個反對意見是將形式化的“ if if”語句與因果關係混淆(請參閱“相關性”並不暗示因果關係或相關性邏輯要求前提和結果之間存在相關關係的邏輯,與此處假定的經典邏輯不同)。 該定理的形式陳述是永恆的,消除了第二個反對意見,因為陳述在某一瞬間成立的人不一定與在其他任何時刻成立的人相同。

該定理的正式陳述是

∃X∈P. [D(x)→∀y∈P. D(y)]
其中D是任意謂詞,P是任意非空集。

證明
證明始於認識到確實是酒吧中的每個人都在喝酒,或者酒吧中至少有一個人不在喝酒。 因此,有兩種情況需要考慮:

假設每個人都在喝酒。 對於任何一個特定的人來說,如果說那個特定的人正在喝酒,那麼酒吧里的每個人都在喝酒是正確的,因為每個人都在喝酒。 因為每個人都在喝酒,所以那個人必須喝酒,因為那個人喝酒時每個人都喝酒,每個人都包括那個人。
否則,至少一個人不喝酒。 對於任何不飲酒的人,如果該特定人正在喝酒,那麼酒館中的每個人都在喝酒,這在形式上是正確的:其前提(“該特定人在喝酒”)是錯誤的,因此由於材料的性質,該聲明是正確的形式邏輯的含義,其中指出“如果P,則Q”如果P為假,則始終為真。 (這些陳述被認為是虛無的。)
表達上述內容的一種更正式的方式是說,如果每個人都喝酒,那麼任何人都可以證明該定理的有效性。 如果某人不喝酒,那麼該特定的非飲酒者可以證明該定理的有效性。

悖論的解釋
悖論最終基於形式邏輯的原理,即只要A為假,則陳述A→B為真,即任何陳述都源於虛假陳述(也稱為quodlibet)。

對於悖論而言,重要的是古典(和直覺)邏輯中的條件是物質條件。 它具有以下屬性:如果B為真或A為假,則A→B為真(在經典邏輯中,但不是直覺邏輯,這也是必要條件)。

因此,如此處所應用的,“如果他正在喝酒,每個人都在喝酒”的陳述在一種情況下(如果每個人都在喝酒)在另一種情況下(如果他不喝酒)被認為是正確的,即使他可能會喝酒。與其他人的飲酒沒有任何關係。

另一方面,在自然語言中,通常將“如果……則……”用作指示性條件。

歷史和變化
Smullyan在1978年的書中將“飲酒原理”的命名歸功於他的研究生。 他還討論了變體(通過用其他更具戲劇性的謂詞替換D來獲得):

“地球上有一個女人,如果她變得不育,整個人類都會消亡。” Smullyan寫道,這種表述來自他與哲學家John Bacon的一次對話。
原則的“雙重”版本:“至少有一個人,如果有人喝酒,那麼他就喝酒。”

作為“ Smullyan的“ Drinkers”原理”或僅僅是“ Drinkers”原理,它出現在HP Barendregt的“追求正確性”(1996)中,並附帶一些機器證明。 從那以後,它在有關自動推理的出版物中經常出現。 有時用來對比證明助手的表現力

非空域
在允許使用空域的環境中,飲酒者悖論必須制定如下:

集合P滿足

∃X∈P. [D(x)→∀y∈P. D(y)],
當且僅當它為非空時。

或用言語:

當且僅當酒吧中有人時,酒吧中才有人,如果他在喝酒,那麼酒吧中的每個人都在喝酒。

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蘊含悖論

作為最著名的悖論,而且形式上最簡單,蘊涵悖論是最好的介紹。

在自然語言中,蘊含悖論的一個實例出現了:

正在下雨

沒下雨

因此

喬治·華盛頓(George Washington)用耙子做成。

這是由爆炸原理引起的,爆炸原理是古典邏輯定律,指出前提不一致總是使論點成立。 也就是說,前提不一致暗示著任何結論。 這似乎是自相矛盾的,因為儘管以上內容在邏輯上是有效的,但它並不合理(並非所有前提都正確)。

推論
有效性在經典邏輯中定義如下:

當且僅當不存在所有前提都為真且結論為假的情況下,論點(由前提和結論組成)才有效。
例如,一個有效的參數可能會運行:

如果正在下雨,則存在水(第一前提)
正在下雨(第二場)
存在水(結論)

在此示例中,不可能存在前提為真而結論為假的情況。 由於沒有反例,因此該參數有效。

但是,可以提出一種前提不一致的論點。 這將滿足對有效論證的檢驗,因為不可能存在所有前提都為真的情況,因此不可能存在所有前提都為真且結論為假的情況。

例如,前提不一致的參數可能會運行:

肯定在下雨(第一前提;正確)
不下雨(第二前提;假)
喬治華盛頓是用耙子做成的(結論)

由於不可能存在兩個前提都成立的情況,因此當然不可能存在結論為假時前提可能成立的情況。 因此,無論結論如何,論點都是有效的。 前提不一致意味著所有結論。

說明
蘊含悖論的奇怪之處是由於這樣的事實,即古典邏輯中有效性的定義並不總是與普通語言中術語的使用一致。 在日常使用中,有效性表明前提是一致的。 在經典邏輯中,引入了額外的健全性概念。 合理的論點是具有所有真實前提的有效論點。 因此,帶有不一致前提的有效論點永遠不會成立。 為消除此悖論而對邏輯有效性概念提出的建議改進是相關邏輯。

簡化版
經典悖論公式與公式緊密相關,

p∧q→p
簡化原理,可以很容易地從悖論公式中得出(例如,從(1)引入)。 此外,嘗試使用實質性含義來表示英語“ if…then…”存在嚴重問題。 例如,以下是有效的推論:

(p→q)∧(r→s)⊢(p→s)∨(r→q)
(p∧q)→r⊢(p→r)∨(q→r)}
但是使用“ if”將它們映射回英語句子會產生悖論。 第一個可能是“如果約翰在倫敦,那麼他在英國,如果他在巴黎,那麼他在法國。 因此,或者(a)如果約翰在倫敦,那麼他在法國,或者(b)如果他在巴黎,那麼他在英國,這是正確的。” 用物質暗示,如果約翰真的在倫敦,那麼(因為他不在巴黎)(b)是真的; 而如果他在巴黎,則(a)為真。 由於他不能同時出現在兩個地方,因此至少(a)或(b)之一為真的結論是正確的。

但這與自然語言中的“如果……那麼……”的使用方式不匹配:如果約翰不知道倫敦在哪裡,最可能出現這樣的情況:“如果約翰在倫敦,那麼他在英國”。但是他知道如果他在倫敦,那麼他在英國。 在這種解釋下,兩個前提都是正確的,但是結論的兩個條款都是錯誤的。

第二個示例可以讀為“如果同時關閉了開關A和開關B,則指示燈點亮。 因此,可以肯定的是,如果開關A關閉,則燈亮,或者如果開關B關閉,則燈亮。” 在這裡,“ if…then…”語句最可能的自然語言解釋是“每當開關A關閉時,燈點亮”,以及“每當開關B關閉時,燈點亮”。 同樣,在這種解釋下,結論的兩個條款都可能是錯誤的(例如,在串聯電路中,只有兩個開關均閉合時,指示燈才會亮起)。

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彩票悖論

小亨利·基伯格(Henry E. Kyburg)的彩票悖論源於考慮一張公平的1000張彩票,其中有一張中獎彩票。 如果對彩票的執行了解很多,因此有理由接受一些彩票中獎。 假設僅當事件發生的可能性大於0.99時,該事件才很有可能發生。 基於這些理由,假定接受彩票的第一張彩票不會中獎的主張是合理的。 由於彩票是公平的,因此有理由接受彩票2也不會中獎-實際上,對於彩票中的任何個人彩票i都有理由我不會中獎。 但是,接受票證1不會贏,接受票證2不會贏,依此類推,直到接受票證1000不會贏,這意味著有理由接受沒有票證會贏,這意味著有理由接受一張票贏了,沒有票贏的矛盾主張。

彩票悖論的目的是證明控制理性接受的三個有吸引力的原則導致矛盾,即

接受很可能是正確的主張是合理的,
接受一個已知的,前後矛盾的命題是不合理的
如果接受一個命題A是合理的,而接受另一個命題A’是合理的,那麼接受A和A’是合理的。

這個悖論仍然引起人們持續的興趣,因為它在知識表示和不確定的推理的基礎上提出了幾個問題:謬誤,可糾正的信念和邏輯後果之間的關係; 一致性,統計證據和概率在信念固定中的作用; 邏輯和概率一致性對理性信念具有的精確規範力。

歷史
儘管在Kyburg的1961年概率和理性信念邏輯中首次出現了關於彩票悖論的陳述,但在1959年符號邏輯協會會議上發表的論文《概率與隨機性》中卻首次提出了這種悖論,以及1960年國際科學史和科學哲學大會,但在1963年發表在Theoria雜誌上。該論文在Kyburg(1987年)轉載。

Smullyan的變體
Raymond Smullyan對彩票悖論提出了以下變體:一個是前後矛盾的,還是自負的。 由於人腦是有限的,因此人們相信有限的命題p1…pn。 但是,除非您自負,否則您會知道自己有時會犯錯誤,而且並非所有您相信的都是真實的。 因此,如果您不自負,則知道至少有一些pi是錯誤的。 但是,您分別相信每個pi。 這是不一致的。(Smullyan 1978,第206頁)

文學簡短指南
彩票悖論已成為認識論中的中心話題,圍繞這一難題的大量文獻有可能掩蓋其最初的目的。 Kyburg提出了一項思想實驗,以了解他關於概率的創新思想的特徵(Kyburg 1961,Kyburg和Teng 2001),這些思想是圍繞認真對待上述前兩個原則而拒絕最後一個原則而建立的。 對於Kyburg來說,彩票悖論並不是真正的悖論:他的解決方案是限制聚合。

即使這樣,對於正統的概率論者來說,第二和第三條原則是主要的,因此第一條原則被拒絕了。 在這裡也可以看到聲稱實際上並沒有悖論而是一個錯誤:解決方案是拒絕第一個原則,並隨之拒絕理性接受的想法。 對於任何具​​有概率基礎知識的人,應該拒絕第一條原則:對於一個非常可能發生的事件,對該事件的理性信念只是認為它很有可能,而不是事實。

認識論的大多數文獻都是從正統的觀點出發來解決這個難題的,並試圖解決這樣做所面臨的特殊後果,這就是為什麼彩票與懷疑論的討論相關聯的原因(例如,Klein 1981),以及主張知識主張的條件。 (例如,JP Hawthorne 2004)。 通常還可以找到針對難題的提議解決方案,這些解決方案可以開啟彩票思想實驗的特定功能(例如Pollock 1986),然後邀請將彩票與其他認知悖論(例如David Makinson的序言悖論)進行比較,並提出“彩票”的結構有所不同。 (Kyburg 1997)和(Wheeler 2007)也討論了此策略。 大量的參考書目包括在(Wheeler 2007)中。

哲學邏輯學家和AI研究人員往往對調和這三個原理的弱化版本很感興趣,並且有很多方法可以做到這一點,包括吉姆·霍桑和盧克·博文斯(1999)的信念邏輯,格里高利·惠勒(2006)使用1-單調能力,布賴森·布朗(Bryson Brown(1999)的保留主義超一致邏輯的應用,伊戈爾·杜文(Igor Douven)和蒂莫西·威廉姆森(Timothy Williamson)(2006)吸引了累積的非單調邏輯,霍拉西奧·阿洛·科斯塔(Horacio Arlo-Costa)(2007)使用最小模型(古典)模態邏輯和喬·哈珀恩(Joe Halpern)(2003)使用一階概率。

最後,科學哲學家,決策科學家和統計學家傾向於將彩票悖論看作是人們在構建用於匯總不確定信息的有原則方法時所面臨的複雜性的早期示例,該方法現已成為一門學科,並擁有專門的期刊,信息融合,以及對普通地區期刊的持續貢獻。

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意外的絞刑悖論

意外的絞刑悖論或子手悖論是一個人對未來事件發生時間的期望的悖論,他們被告知將在意外的時間發生。 悖論被廣泛地應用於囚犯的絞刑或突擊測試的考驗。 它可以簡化為摩爾的悖論。

儘管學術界興趣濃厚,但對其確切性質尚無共識,因此尚未建立最終正確的解決方案。 邏輯分析表明,問題出在法官判刑核心的自相矛盾的自我參照陳述中。 認識論的悖論研究表明,它開啟了我們知識的概念。 儘管看起來很簡單,但悖論的內在復雜性甚至導致其被稱為哲學的“重大問題”。

悖論的描述
悖論描述如下:

法官告訴被判刑的囚犯,他將在下週的一個工作日中午被絞死,但死刑對囚犯而言是一個驚喜。 直到儈子手在當天中午敲開牢房的門時,他才知道上吊的日子。

在考慮了他的判決之後,囚犯得出的結論是他將逃脫絞刑。 他的推理分為幾個部分。 他首先得出結論,“驚喜懸掛”不能在星期五,好像他在星期四之前還沒有被絞死,只剩下一天了,因此,如果他在星期五被絞死也就不足為奇了。 由於法官的判決規定絞刑對他而言是一個驚喜,因此他得出​​結論認為絞刑不會在星期五發生。

然後,他又認為也不能在周四進行絞刑,因為周五已經被取消,如果他在周三中午之前還沒有被絞刑,則必須在周四進行絞刑,因此週四的絞刑也就不足為奇了。 通過類似的推理,他得出結論,在星期三,星期二或星期一也不會發生絞刑。 他高興地退休,回到牢房裡,確信根本不會發生絞死。

下週,the子手在星期三中午敲開了囚犯的門,儘管有上述種種情況,這對他來說還是一個驚喜。 法官所說的一切都是真實的。

其他版本的悖論用令人驚訝的消防演習,檢查,突擊測驗,A / B測試發射或門後的獅子代替了死刑判決。

古典表現
1948年7月,英國哲學雜誌《心靈》(Mind)首先以書面形式提到了這一悖論。 其中的變種是:一名軍事指揮官已宣佈在接下來的一周內全面停電(“ A級停電”),受影響的人應該僅在當天的6:00後找到有關停電的信息。

自1943年以來,這種悖論一直在口頭傳播。 據報導,瑞典廣播電台於1943年或1944年宣布進行空襲演習,並將在下週進行。 補充說,即使在練習日的早晨,也沒有人能預測何時舉行。 斯德哥爾摩Östermalms學院的數學教授Lennart Ekbom已經意識到其中涉及的邏輯困難。

印第安納大學科學邏輯學教授邁克爾·斯克里文(Michael Scriven)於1951年也在思想上將這一悖論討論為“新的強大的悖論”。

在經典的表述中,以被判處死刑的人為例描述了悖論。 銷毀版本將在不久的將來向學生宣布一項突擊測試,以取代囚犯的處決。

行刑人的悖論
囚犯被判處一周之內(週一至週日)被處決。 執行總是在中午進行。 他沒有被告知處決之日要保持焦慮。 他還被告知任命對他來說完全是意外的。 但是,他認為:“如果我在一周的倒數第二天中午倖存下來,那麼我必須在最後一天的中午被處決,但這並不意外。 因此,可以排除最後一次可能的約會。 如果我仍然在倒數第二個日期的中午之前居住,則可以將死刑安排在最後一個或倒數第二個日期,但是我已經排除了最後一個倒數,所以只有倒數第二個。 但是,這並不意外。 依此類推:我仍然在第二次約會之前中午居住,

意外測試
一位老師對她的班級說:“下週,您將針對這個話題寫一個完全令人驚訝的測試!” 其中一個孩子認為這是不可能的。 她說:“全班在星期一,星期四和星期五都有這門課。 如果測試是在星期五進行的,這並不奇怪,但是可以預料到在課程之後的星期四。 考試在星期四進行嗎? 不,因為我已經排除了星期五,而星期一已經結束,也可以排除在外。 因此測試必須在星期一進行,也就不足為奇了。 ”老師還能將她的聲明設為正確嗎?

威森悖論
根據卡普蘭和蒙塔古的說法,這種悖論可以簡化為所謂的“知識悖論”(知識的悖論),它由以下句子組成:“眾所周知,這句話是錯誤的。”

分析
除了解決矛盾之外,還出現了一個問題,那就是犯人邏輯上的錯誤在哪裡,犯人認為他會生存。

1.分析:囚犯的錯誤在於認識到矛盾之後進行了歸納步驟。 基本上,您可以從錯誤中推斷出一切,包括生存(不適用)。 如果囚犯在周日早上還活著,他知道警衛發表的兩個陳述之一(“您最遲將在周日被處決”和“您將不知道前一天”)是錯誤的。 因為他不知道這兩個陳述中哪一個是錯誤的,所以他無法得出任何進一步的結論。

當然,囚犯可以得出結論:“如果看守的兩個說法都是正確的,那麼我將不再經歷星期日。”

在周六早上,有以下選擇:“要么是今天執行絞刑的人,要么是警衛撒謊的。” 囚犯不知道關於“或”的兩個陳述中哪一個是正確的。 go子手Ergo可以在星期六“意外地”來。 當然,尤其是在星期五,星期四,星期三,星期二或星期一。

2.分析:讓我們假設囚犯在周六晚上還活著:他能百分百確定自己將在周日執行死刑嗎? 答案是肯定的,但正確的答案是“否”。 該囚犯認為,下週他將被意外處決的說法是正確的; 但是,即使他假設有一個意想不到的處決,即使在星期六晚上,也不能指望在周日被處決,因為這會與他自己的假設相矛盾。 埃爾戈(Ergo),即使在周日也可能會令人驚訝地處決該囚犯,據此駁回其推理。

模擬案例:我將給您您所要求的書,我的禮物將是一個驚喜。 乍一看,這兩個諾言只能兌現。 但是,如果另一個人假設我的陳述是正確的,那麼他們就不可能預測我會給他們相應的書,因為從那個人的角度來看,這兩個部分陳述彼此矛盾,這使得預測是不可能的。 所以我可以給這個人他們想要的書,這是一個驚喜。

將這兩種情況都變成悖論的邏輯錯誤是假設可以根據事實做出明確的預測。 這是不正確的,原因很簡單:兩次都聲明不可能進行預測。 由於必須假定該陳述是真實的,因此不能排除任何一天(根據囚犯的情況),因為排除在外也是一個明確的預測,與意外陳述相矛盾,因此不能接受。 換句話說,執行語句是自動執行的,它可以在一周的任何一天進行; 因此,即使星期天也不能排除。

3.分析:囚犯的邏輯推理是向後歸納。 也就是說,他的論點是這樣的:“如果我仍然在周六晚上住……”,如果他因為事先被處決而不再經歷週六,則不再可以使用該論點。 他的推理暗示他仍然活著,可以肯定或感到驚訝。 換一種說法:從直到週六(包括週六)都沒有執行死刑的假設,可以正確地得出結論,星期日也不是死刑的日期。 然後從該第一結論得出進一步的結論,即也應排除週六,然後星期五,然後星期四等。 由於這些結論是彼此基於的,因此最終基於第一個結論,因此,只有在滿足第一個結論的前提條件(即,直到週六才執行死刑)的情況下,所有這些結論才適用。 這樣一來,思路就只能證明,如果他倖存到週六晚上,就不能執行該罪犯。 否則,結論只是重複其假設。

邏輯學校
由於“驚奇”一詞的含糊含義,很難將法官的宣布表述為正式邏輯。 制定的嘗試可能是:

囚犯將在下週被絞死,並且(假定絞刑發生在一周內(A))將無法推斷出前一天晚上的絞刑日期。

鑑於此消息,囚犯可以推斷出絞刑不會發生在一周的最後一天。 但是,為了重現辯論的下一階段,該階段消除了一周的倒數第二天,囚犯必須辯稱,他根據陳述(A)推斷出絞刑不會發生在最後一天的能力暗示倒數第二天吊死也就不足為奇了。 但是,由於“令人驚訝”的含義已被限制為無法從懸掛將在一周內發生的假設中得出,而不是無法從陳述(A)中得出,因此該論點被阻止了。

這表明更好的表述實際上是:

該囚犯將在下週被絞死,並且在使用此聲明作為公理(B)之前的晚上無法推斷其日期。

惠譽(Fitch)已表明,該陳述仍可以形式邏輯來表達。 他採用了一種等效的悖論形式,將一周的時間縮短到只有兩天,他證明了儘管自指並非在所有情況下都是不合法的,但在這種情況下,這是因為陳述是自相矛盾的。

認識論學校
已經提出了各種認識論的表述,這些表述表明,囚犯對他將來將要知道的東西的默示假設,以及對知識的一些似乎合理的假設是不一致的。

Chow(1998)對這一悖論的一個版本進行了詳細的分析,其中在兩天之一中發生了令人驚訝的懸掛。 將Chow的分析應用於意外吊銷的情況(為簡單起見,一周又縮短為兩天),我們首先觀察到法官的宣布似乎肯定了三件事:

S1:絞刑發生在星期一或星期二。
S2:如果絞刑發生在星期一,那麼囚犯將在周日晚上不知道會發生在星期一。
S3:如果絞刑發生在星期二,則囚犯將在星期一晚上不知道會發生在星期二。

第一步,囚犯認為不可能發生在星期二發生絞死的情況,因為這會導致矛盾:一方面,在S3之前,囚犯無法預測星期一晚上的絞刑。 但另一方面,通過S1和消除程序,囚犯將能夠預測週一晚上掛起的星期二。

Chow的分析指出了囚犯推理中的一個細微缺陷。 不可能不是星期二休息。 相反,不可能發生這樣的情況,儘管囚犯在星期一晚上知道法官的主張S1,S2和S3都是正確的,但在星期二還是發生了絞刑。

囚犯的推理引起了悖論,之所以能夠起步,是因為囚犯默認地認為,在星期一晚上,他(如果他還活著的話)將知道S1,S2和S3是真實的。 出於多種不同原因,這種假設似乎毫無根據。 可以說,法官宣布某事真實是永遠不可能成為囚犯知道某事真實的理由。 此外,即使囚犯當前知道某事是正確的,未知的心理因素也可能在將來抹去這一知識。 最後,周杰倫認為,由於囚犯應該“知道”為事實的陳述是關於他無法“知道”某些事情的陳述,因此我們有理由相信,意料之外的懸吊悖論只是對他的錯綜複雜的表述。摩爾的悖論。 通過將一周的時間縮短為一天,可以找到一個合適的類比。 然後法官的句子變成:您明天將被絞死,但您不知道。

有人建議,囚犯的合理消滅使一周中的任何一天成為執行死刑的有效日期。

評論
這種悖論是如此令人不安,因為儘管學生似乎證明了這一斷言是自相矛盾的,但事實最終還是如此。 已為她提出了一些解決方案。

可以說,尚不清楚允許學生期望什麼,什麼時候應該感到驚訝。 如果學生們偏執狂,並且他們每天都認為自己第二天會接受考試,那麼顯然這並不奇怪,並且悖論就消失了。 在研究悖論時,我們不會傾向於重複他們的決定,也就是說,我們認為學生只能在考試當天選擇一次。 但是,根據他們的推理,學生確實提供了這種自由:“如果我們在星期四沒有自由,那麼我們將決定是星期五,所以在星期三,我們將決定是星期四……”。

另一個可行的解決方案是將學生的觀點與世界其他地方的觀點進行比較。 我們可以說,如果他們不能合理地,持續地證明以教師的主張作為公理會以這種方式發生,那麼他們將“感到驚訝”。 在這種情況下,學生在考試時會感到非常驚訝。 儘管他們無法證明何時進行測試,但所有其他觀察員都可以。 這種矛盾只有在學生試圖證明這一矛盾時才出現。

在他的公理是自我指稱的意義上,這種悖論類似於騙子的悖論,也就是說,他們談論自己的真實性。 它與它的不同之處在於,它添加了一個新元素,即他們指出了應該嘗試的人。 “驚奇”一詞本質上是一個公理,它表明學生不能嘗試其他人嘗試的某些事情。 這意味著確實沒有悖論,因為由於公理指的是進行測試的人,因此我們很有可能證明學生無法做到的事情。

有趣的是,哥德爾的不完全性定理可以看作是將說謊者的悖論轉化為形式數學的一種方式,因為他找到了讓公理自我參照的形式方法。 對於這種悖論沒有這樣的翻譯,因為形式上的公理不能以這種方式指代特定的觀察者。

在文學中
這種悖論出現在安德魯·克魯梅(Andrew Crumey)的小說《我先生》(Mr Mee)中:

當蒂索(Tissot)對他的持續困擾和對我辦公桌的近乎永久性的佔用感到惱怒時,我對他說,’下週,我將帶你的妻子來,以便您可以和她說話。人員並解決您的困難。 我知道你不想見她,所以我不會告訴你她會在哪一天到來。 但您可以確定在一周結束之前會見她。”

天梭知道他的妻子不會在下週五被帶到他面前,因為在這種情況下,他可以在周四晚上確定她一定要來,而且他可以使自己不在。 但同樣地,我還必須避開星期四,因為否則周三過去時,如果沒有場景,他將被預先警告。 天梭以類似的方式每隔一天開除一次,得出的結論是,他的妻子永遠不會出人意料地對他進行騷擾。 但是在星期四,他回答了不僅要受到她而且要受到母親歡迎的那扇門,當我讓自己感到恐懼的時候,他們兩個都用拳頭將他裝在耳朵裡,悄悄地判斷一個邏輯學家如此可憐,應該得到他的一切。

這種悖論還出現在兒童小說《路邊·薩查爾的路邊學校的更多側面算術》中。 在其中一個故事中,老師Jewls夫人計劃在下週進行一次小測驗,但不會事先通知全班。 與經典悖論不同的是,學生們一勞永逸地消除了這一天,導致傑爾斯夫人放棄了這一想法。