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Catch-22邏輯悖論

第22條軍規(catch 22)是一種自相矛盾的情況,由於規則或限制相互矛盾,個人無法逃脫。 這個詞是由約瑟夫·海勒(Joseph Heller)創造的,他在1961年的小說Catch-22中使用了該詞。

一個例子是:

在需要工作經驗的時候……“在找到一份能給我經驗的工作之前,我怎麼能獲得經驗?” – Brantley Foster,《我的成功秘訣》。

Catch-22通常是由於個人要遵守但無法控制的規則,規定或程序而產生的,因為與規則抗爭就是接受規則。 另一個例子是,某人需要某種東西,而這些東西只能通過不需要而得到(例如,唯一有資格獲得貸款的方法是向銀行證明您不需要貸款) )。 該術語的一個含義是“ catch-22”情況的創造者創造了任意規則,以證明和掩飾自己濫用權力的合理性。

起源與意義
約瑟夫·海勒(Joseph Heller)在他的1961年小說《軍規22》中創造了這個詞,該詞描述了第二次世界大戰中對士兵的荒唐官僚約束。 該詞由陸軍精神科醫生Doc Daneeka引入,他稱“ Catch-22”來解釋為什麼任何要求精神錯亂進行心理評估的飛行員(希望被發現沒有足夠的理智可以飛行並逃脫危險的任務)證明了自己的理智在創建請求中,因此不能被認為是瘋狂的。 此短語還表示由於相互矛盾或相互依存的條件而無法逃脫的困境或困難情況。

“你是說有一個陷阱?”

“當然有收穫,”丹尼卡博士回答。 “軍規22。 任何想擺脫戰鬥職責的人都不是真的瘋了。”

只有一個陷阱,那就是Catch-22,它指出面對現實和緊迫的危險,關心自己的安全是理性思維的過程。 Orr瘋了,可以被擱淺。 他所要做的就是發問。 而且,一旦他這樣做,他將不再發瘋,而將不得不執行更多任務。 如果他不這樣做,奧爾會瘋狂地執行更多的任務並保持理智,但是如果他理智的話,他就必須執行任務。 如果他飛了他們,他會瘋了,不必這麼做。 但是如果他不想,他理智並且必須。 Catch-22條款的絕對簡單性使Yossarian深受感動,並發出敬意的口哨聲。

小說中出現了不同的“ Catch-22”配方。 該術語適用於軍事系統的各種漏洞和怪癖,總是暗示著規則對於那些等級較低的人是不可訪問的並且相對於那些傾斜。 在第6章中,Yossarian(主角)被告知,Catch-22要求他執行其指揮官告訴他的任何事情,無論這些命令是否與該軍官的上級命令相抵觸。

在最後一集中,一位老婦向約瑟里安描述了Catch-22,講述了士兵的暴力行為:

“ Catch-22說,他們有權做我們不能阻止他們做的任何事情。”

“你他媽在說什麼?” 約塞里安(Yossarian)在困惑,憤怒的抗議中對她大喊。 “您怎麼知道它是Catch-22? 誰告訴你這是Catch-22?”

戴著白色安全帽和棍棒的士兵。 女孩在哭。 “我們做錯了什麼嗎?” 他們說。 這些人說不,將他們的球桿末端推開門。 “那你為什麼要把我們趕出去?” 女孩說。 這些人說,“軍規22”。 他們一直說的是“ Catch-22,Catch-22”。 Catch-22是什麼意思? 什麼是Catch-22?”

“他們沒有給你看嗎?” 優薩里人要求,憤怒和痛苦四處張揚。 “你甚至不讓他們讀嗎?”

“他們不必給我們看Catch-22,”老婦人回答。 “法律規定他們不必這樣做。”

“什麼法律規定他們不必這麼做?”

“軍規22。”

根據文學教授伊恩·格雷格森(Ian Gregson)的說法,這位老婦人的敘述更直接地將“ Catch-22”定義為“權力的殘酷操縱”,剝奪了早期情景的“偽造性”。

小說中的其他露面

除了提到無法解決的邏輯難題外,Catch-22被用來解釋或證明軍事官僚作風。 例如,在第一章中,它要求Yossarian在他被限制在醫院病床上的同時,在審查員的信上簽名。 第10章中提到的一個條款彌補了晉升中的漏洞,在任何晉升之後,一個私人一直在利用該漏洞重新獲得私人頭等艙的吸引力。 通過參加AWOL的軍事法庭行動,他被抽空回到了私人級別,但是Catch-22限制了他被送進寨子之前可以這樣做的次數。

在書中的另一點,一個妓女向約薩里安(Yossarian)解釋說,她不能嫁給他,因為他瘋了,而且她絕不會嫁給一個瘋子。 她認為任何男人都會娶一個不是處女的女人為瘋子。 這個封閉的邏輯循環清楚地說明了Catch-22,因為按照她的邏輯,所有拒絕嫁給她的男人都是理智的,因此她會考慮結婚。 但是,一旦男人同意與她結婚,他就會因想與非處女結婚而變得瘋狂,並立即遭到拒絕。

有一次,布萊克船長試圖壓制米洛剝奪少校的食物,原因是沒有簽署少校從來沒有機會簽名的忠誠誓言。 布萊克船長問米洛:“你不反對Catch-22,是嗎?”

在第40章中,Catch-22迫使Korn上校和Cathcart上校將Yossarian提升為Major並將其定為地面,而不是僅僅將他送回家。 他們擔心,如果不這樣做,其他人將拒絕飛行,就像優素里亞人那樣。

數的意義22
海勒原本想用其他數字來稱呼這個短語(因此也叫書),但是他和他的出版商最終決定使用22。 它或多或少被選擇用於諧音。 標題最初是Catch-18,但是在流行的Mila 18提前很短時間發布後,Heller對其進行了更改。

用法
術語“ catch-22”已過濾成英語的常用用法。 海勒(Heller)在1975年的一次採訪中說,該術語無法很好地翻譯成其他語言。

James E. Combs和Dan D. Nimmo認為,“ catch-22”的概念已廣為流行,因為現代社會中有這麼多人面臨著令人沮喪的官僚主義邏輯。 他們寫:

那麼,與組織打交道的每個人都了解Catch-22的官僚主義邏輯。 例如,在高中或大學中,學生可以參加學生自治,這是一種自治和民主的形式,只要學生的校長或校長批准,他們就可以決定自己想要的一切。 這種偽造的民主可以被任意命令所否決,這也許是公民第一次與可能宣稱“開放”和自由主義價值觀,但實際上是封閉的,等級制度的組織相遇。 Catch-22是組織的假設,是不成文的非正式權力法,使組織免於承擔責任和問責制,並使個人出於組織的便利或未知目的而被排斥在荒謬的位置。

與喬治·奧威爾(George Orwell)的“雙重思維”一起,“追趕22”已成為描述被矛盾的規則困住的困境的最公認的方式之一。

替代醫學的一種重要定義被稱為catch 22。 1998年由《新英格蘭醫學雜誌》的前編輯瑪西婭·安傑爾(Marcia Angell)合著的社論中指出:

“現在是科學界停止搭便車替代藥物的時候了。 不能有兩種藥物–傳統藥物和替代藥物。 只有經過充分測試的藥物和沒有經過測試的藥物,有效的藥物以及可能有效或無效的藥物。 一旦對治療進行了嚴格的測試,一開始是否被視為替代就不再重要了。 如果發現合理安全有效,它將被接受。 但是斷言,推測和證明不能代替證據。 替代療法應經過科學測試,其嚴格性不低於傳統療法。”

羅伯特·L·帕克(Robert L. Park)將這個定義描述為合乎邏輯的22條規則,該規則確保了任何被證明行之有效的補充和替代醫學(CAM)方法“將不再是CAM,而將僅僅是醫學”。

在科研中的用途
在研究中,Catch-22反映了科學家對已知未知數的無奈,其中量子計算就是一個很好的例子:如果兩個電子糾纏在一起,使得如果測量結果確定第一個電子在圓的一個位置上,則另一個必須直接佔據一個位置(當它們彼此相鄰並且相隔數光年時,這種關係就成立了)。 量子計算的Catch-22認為,量子特徵僅在不被觀察時才起作用,因此觀察量子計算機以檢查其是否正在利用量子行為會破壞被檢查的量子行為。 海森堡的不確定性原理使我們無法同時知道粒子的位置和動量-如果您測量一個屬性,則會破壞有關另一個屬性的信息。

EC通用數據保護法規:歐盟擴展的隱私法規對人工智能的開發施加了限制,人工智能的開發主要依賴於(大)數據。 除了限制用戶數據收集之外,GDPR還確保即使公司確實收集了個人數據,其在自動決策(標準AI應用程序)中的使用也受到限制。 第22條規定,用戶可以選擇退出自動處理,在這種情況下,公司必須提供符合用戶意願的經過人工審查的替代方案。 使用自動化時,必須向用戶明確說明,並且其應用仍可能因模棱兩可或違反其他規定而受到懲罰,從而使AI成為GDPR兼容機構的Catch-22。

人工智能:如上所述,人工智能依賴於大量的經過驗證的數據,出於個人或商業原因,其中大多數被正確認為是私有的。 由於將看似無害的或受保護的數據無意輸入到本來安全的網站,導致捕獲22。 因此,基於數十個“訪問權”請求,位於牛津的研究員James Pavur發現,他可以訪問來自多家英國和美國公司的個人信息,從購買歷史到信用卡號,再到過去和現在的住所,不一而足。甚至沒有驗證他的身份。 在商業領域,各種積累用於AI的數據的方法無處不在。 對於使用機器學習作為其業務核心技術的初創公司而言,訪問高質量的培訓數據至關重要。 根據Moritz Mueller-Freitag的觀點,“儘管許多算法和軟件工具是開源的,並且在整個研究社區中共享,但是好的數據集通常是專有的並且難以構建。 因此,擁有一個龐大的,特定領域的數據集可以成為競爭優勢的重要來源。” 用戶輸入甚至包括無害的用戶界面,這些界面鼓勵用戶糾正錯誤,例如Mapillary和reCAPTCHA。 因此,網絡用戶逐漸得到培訓,可以在AI的構建中進行合作,以換取對不可驗證信息的訪問,而他的權利通過同意不可思議的條款和條件而被廢除。

未知數未知的問題:這是一種相反的Catch-22情況,在這種情況下,約瑟夫·海勒(Joseph Heller)的約瑟安(Yossarian)尚不知道他今晚害怕乘員駕駛的轟炸機已於昨晚被擊落。 類似的缺陷也解釋了為什麼科學家還沒有找到治療阿爾茨海默氏病的方法。 -他們不知道到底是什麼。 他們可以看到病人會發生什麼,並預測會發生什麼,但不了解其最終原因,為什麼會影響到人們,或者症狀會隨著時間而惡化。

評估提交給《科學》雜誌的新穎解釋:如果在現有知識的背景下展示了來自新研究的新知識,則該過程可以確保所得出結論的可信度。 由於知識本質上是進化的,因此較早的知識通常為以後的增量奠定基礎。 但是,學術限制通常會促使研究人員避免“跳出框框”。 對於尋求重新解釋較早研究的研究人員而言,這會導致Catch-22問題,這是從與廣泛認可的現有解釋不同的現有數據中推論得出的。 例如,目前對北美和歐洲對更新世冰蓋的了解最終是基於阿加西茲(Agassiz)1842年對覆蓋整個大陸大部分北部的厚冰河的解釋。 出版50年來,幾位經驗豐富的地質學家提請注意其嚴重的缺點。 然而,阿加西(Agassiz)的解釋是現在向世界各地的學生傳授的“規範”版本的基礎,沒有任何警告。 今天,研究人員對現有證據進行嚴格的審查,得出的結論與“厚更新世冰”解釋大不相同的結論將很難通過審查小組並進入各種第四紀期刊。 當他們試圖在Wikipedia上發表其評論摘要作為文章時,這些作者的Catch-22挫敗感會被放大,他們可能會發現懷疑的編輯根據邏輯似乎是“原始研究”來還原其投稿。

邏輯
由海勒(Heller)制定的原型catch-22涉及美國陸軍航空兵轟炸機約翰·約薩里安(John Yossarian)的案子,他希望從戰鬥飛行中被禁飛。 只有在中隊的飛行外科醫生對他進行評估並發現他“不適合飛行”之後,這種情況才會發生。 “不合格”將是任何飛行員誰願意這樣的飛行危險的任務,作為一個將不得不狂志願者可能死亡。 但是,要進行評估,他必須請求評估,這一行為被認為足以證明自己是理智的。 這些條件使得不可能被宣佈為“不合適”。

“ Catch-22”的意思是“任何想擺脫戰鬥職責的人都不是真正的瘋子”。 因此,要求進行心理健康評估的飛行員是理智的,因此必須在戰鬥中飛行。 同時,如果飛行員不要求進行評估,他將永遠不會得到評估,因此永遠不會發瘋,這意味著他也必須在戰鬥中飛行。

因此,Catch-22可以確保任何飛行員都不會因精神錯亂而停飛。

這種情況的合乎邏輯的表述是:

1.(E→(I∧R))要使一個人因精神錯亂而被免職(E),他必須既瘋了(I)又要求評估(R)。 (前提)
2.(I→¬R)瘋人(I)不要求評估(¬R),因為他沒有意識到自己瘋了。 (前提)
3.(¬IV¬R)一個人不是瘋子(¬I)或不要求評估(¬R)。 (2.實質意義)
4.(¬(I∧R))任何人都不能同時發瘋(I)和要求評估(R)。 (3.和摩根定律)
5.(¬E)因此,任何人都不能被免職飛行(¬E),因為沒有人可以既瘋了又要求評估。 (4.,1。和收費方式)
哲學家勞倫斯·戈德斯坦(Laurence Goldstein)認為,“飛行員的困境”在邏輯上甚至都不是在任何情況下都成立的條件。 這是一個“空置的雙條件”,最終毫無意義。 戈德斯坦寫道:

哲學家勞倫斯·戈德斯坦(Laurence Goldstein)認為,“飛行員的困境”在邏輯上甚至都不是在任何情況下都成立的條件。 這是一個“空置的雙條件”,最終毫無意義。 戈德斯坦寫道:

問題是:看起來像是在免除執行危險任務的情況下可以免除飛行員的條件的陳述,但並沒有陳述

(i)“只有在繼續的情況下,飛行員才能免除執行危險任務的責任”(其中“繼續”是矛盾的)
(這可能是掩飾不愉快真相的一種卑鄙的方式),但毫無價值的空話

(ii)“只有在不是那種情況下才可以原諒某飛行員執行危險任務的情況下,才可以免除其責任”
如果抓獲物是(i),那還不算太糟–飛行員至少能夠發現他在任何情況下都無法避免戰鬥任務。 但是Catch-22的情況更糟–亂七八糟的詞無濟於事。 它沒有內容,根本沒有傳達任何信息。

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飲酒者悖論

飲酒者悖論(也稱為飲酒者定理,飲酒者原理或飲酒原理)是經典謂詞邏輯的一個定理,可以說為“酒館中有人,如果他在喝酒,那麼每個人都會飲酒。酒吧在喝酒。” 它由數學邏輯學家Raymond Smullyan推廣,他在1978年的書《這本書的名字是什麼?》中稱其為“飲酒原理”。

該陳述的明顯自相矛盾性質來自其通常以自然語言陳述的方式。 可能有人會導致其他人喝酒,或者有人可能整夜都以為一個人總是最後一個喝酒,這似乎是違反直覺的。 第一個反對意見是將形式化的“ if if”語句與因果關係混淆(請參閱“相關性”並不暗示因果關係或相關性邏輯要求前提和結果之間存在相關關係的邏輯,與此處假定的經典邏輯不同)。 該定理的形式陳述是永恆的,消除了第二個反對意見,因為陳述在某一瞬間成立的人不一定與在其他任何時刻成立的人相同。

該定理的正式陳述是

∃X∈P. [D(x)→∀y∈P. D(y)]
其中D是任意謂詞,P是任意非空集。

證明
證明始於認識到確實是酒吧中的每個人都在喝酒,或者酒吧中至少有一個人不在喝酒。 因此,有兩種情況需要考慮:

假設每個人都在喝酒。 對於任何一個特定的人來說,如果說那個特定的人正在喝酒,那麼酒吧里的每個人都在喝酒是正確的,因為每個人都在喝酒。 因為每個人都在喝酒,所以那個人必須喝酒,因為那個人喝酒時每個人都喝酒,每個人都包括那個人。
否則,至少一個人不喝酒。 對於任何不飲酒的人,如果該特定人正在喝酒,那麼酒館中的每個人都在喝酒,這在形式上是正確的:其前提(“該特定人在喝酒”)是錯誤的,因此由於材料的性質,該聲明是正確的形式邏輯的含義,其中指出“如果P,則Q”如果P為假,則始終為真。 (這些陳述被認為是虛無的。)
表達上述內容的一種更正式的方式是說,如果每個人都喝酒,那麼任何人都可以證明該定理的有效性。 如果某人不喝酒,那麼該特定的非飲酒者可以證明該定理的有效性。

悖論的解釋
悖論最終基於形式邏輯的原理,即只要A為假,則陳述A→B為真,即任何陳述都源於虛假陳述(也稱為quodlibet)。

對於悖論而言,重要的是古典(和直覺)邏輯中的條件是物質條件。 它具有以下屬性:如果B為真或A為假,則A→B為真(在經典邏輯中,但不是直覺邏輯,這也是必要條件)。

因此,如此處所應用的,“如果他正在喝酒,每個人都在喝酒”的陳述在一種情況下(如果每個人都在喝酒)在另一種情況下(如果他不喝酒)被認為是正確的,即使他可能會喝酒。與其他人的飲酒沒有任何關係。

另一方面,在自然語言中,通常將“如果……則……”用作指示性條件。

歷史和變化
Smullyan在1978年的書中將“飲酒原理”的命名歸功於他的研究生。 他還討論了變體(通過用其他更具戲劇性的謂詞替換D來獲得):

“地球上有一個女人,如果她變得不育,整個人類都會消亡。” Smullyan寫道,這種表述來自他與哲學家John Bacon的一次對話。
原則的“雙重”版本:“至少有一個人,如果有人喝酒,那麼他就喝酒。”

作為“ Smullyan的“ Drinkers”原理”或僅僅是“ Drinkers”原理,它出現在HP Barendregt的“追求正確性”(1996)中,並附帶一些機器證明。 從那以後,它在有關自動推理的出版物中經常出現。 有時用來對比證明助手的表現力

非空域
在允許使用空域的環境中,飲酒者悖論必須制定如下:

集合P滿足

∃X∈P. [D(x)→∀y∈P. D(y)],
當且僅當它為非空時。

或用言語:

當且僅當酒吧中有人時,酒吧中才有人,如果他在喝酒,那麼酒吧中的每個人都在喝酒。

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蘊含悖論

作為最著名的悖論,而且形式上最簡單,蘊涵悖論是最好的介紹。

在自然語言中,蘊含悖論的一個實例出現了:

正在下雨

沒下雨

因此

喬治·華盛頓(George Washington)用耙子做成。

這是由爆炸原理引起的,爆炸原理是古典邏輯定律,指出前提不一致總是使論點成立。 也就是說,前提不一致暗示著任何結論。 這似乎是自相矛盾的,因為儘管以上內容在邏輯上是有效的,但它並不合理(並非所有前提都正確)。

推論
有效性在經典邏輯中定義如下:

當且僅當不存在所有前提都為真且結論為假的情況下,論點(由前提和結論組成)才有效。
例如,一個有效的參數可能會運行:

如果正在下雨,則存在水(第一前提)
正在下雨(第二場)
存在水(結論)

在此示例中,不可能存在前提為真而結論為假的情況。 由於沒有反例,因此該參數有效。

但是,可以提出一種前提不一致的論點。 這將滿足對有效論證的檢驗,因為不可能存在所有前提都為真的情況,因此不可能存在所有前提都為真且結論為假的情況。

例如,前提不一致的參數可能會運行:

肯定在下雨(第一前提;正確)
不下雨(第二前提;假)
喬治華盛頓是用耙子做成的(結論)

由於不可能存在兩個前提都成立的情況,因此當然不可能存在結論為假時前提可能成立的情況。 因此,無論結論如何,論點都是有效的。 前提不一致意味著所有結論。

說明
蘊含悖論的奇怪之處是由於這樣的事實,即古典邏輯中有效性的定義並不總是與普通語言中術語的使用一致。 在日常使用中,有效性表明前提是一致的。 在經典邏輯中,引入了額外的健全性概念。 合理的論點是具有所有真實前提的有效論點。 因此,帶有不一致前提的有效論點永遠不會成立。 為消除此悖論而對邏輯有效性概念提出的建議改進是相關邏輯。

簡化版
經典悖論公式與公式緊密相關,

p∧q→p
簡化原理,可以很容易地從悖論公式中得出(例如,從(1)引入)。 此外,嘗試使用實質性含義來表示英語“ if…then…”存在嚴重問題。 例如,以下是有效的推論:

(p→q)∧(r→s)⊢(p→s)∨(r→q)
(p∧q)→r⊢(p→r)∨(q→r)}
但是使用“ if”將它們映射回英語句子會產生悖論。 第一個可能是“如果約翰在倫敦,那麼他在英國,如果他在巴黎,那麼他在法國。 因此,或者(a)如果約翰在倫敦,那麼他在法國,或者(b)如果他在巴黎,那麼他在英國,這是正確的。” 用物質暗示,如果約翰真的在倫敦,那麼(因為他不在巴黎)(b)是真的; 而如果他在巴黎,則(a)為真。 由於他不能同時出現在兩個地方,因此至少(a)或(b)之一為真的結論是正確的。

但這與自然語言中的“如果……那麼……”的使用方式不匹配:如果約翰不知道倫敦在哪裡,最可能出現這樣的情況:“如果約翰在倫敦,那麼他在英國”。但是他知道如果他在倫敦,那麼他在英國。 在這種解釋下,兩個前提都是正確的,但是結論的兩個條款都是錯誤的。

第二個示例可以讀為“如果同時關閉了開關A和開關B,則指示燈點亮。 因此,可以肯定的是,如果開關A關閉,則燈亮,或者如果開關B關閉,則燈亮。” 在這裡,“ if…then…”語句最可能的自然語言解釋是“每當開關A關閉時,燈點亮”,以及“每當開關B關閉時,燈點亮”。 同樣,在這種解釋下,結論的兩個條款都可能是錯誤的(例如,在串聯電路中,只有兩個開關均閉合時,指示燈才會亮起)。

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彩票悖論

小亨利·基伯格(Henry E. Kyburg)的彩票悖論源於考慮一張公平的1000張彩票,其中有一張中獎彩票。 如果對彩票的執行了解很多,因此有理由接受一些彩票中獎。 假設僅當事件發生的可能性大於0.99時,該事件才很有可能發生。 基於這些理由,假定接受彩票的第一張彩票不會中獎的主張是合理的。 由於彩票是公平的,因此有理由接受彩票2也不會中獎-實際上,對於彩票中的任何個人彩票i都有理由我不會中獎。 但是,接受票證1不會贏,接受票證2不會贏,依此類推,直到接受票證1000不會贏,這意味著有理由接受沒有票證會贏,這意味著有理由接受一張票贏了,沒有票贏的矛盾主張。

彩票悖論的目的是證明控制理性接受的三個有吸引力的原則導致矛盾,即

接受很可能是正確的主張是合理的,
接受一個已知的,前後矛盾的命題是不合理的
如果接受一個命題A是合理的,而接受另一個命題A’是合理的,那麼接受A和A’是合理的。

這個悖論仍然引起人們持續的興趣,因為它在知識表示和不確定的推理的基礎上提出了幾個問題:謬誤,可糾正的信念和邏輯後果之間的關係; 一致性,統計證據和概率在信念固定中的作用; 邏輯和概率一致性對理性信念具有的精確規範力。

歷史
儘管在Kyburg的1961年概率和理性信念邏輯中首次出現了關於彩票悖論的陳述,但在1959年符號邏輯協會會議上發表的論文《概率與隨機性》中卻首次提出了這種悖論,以及1960年國際科學史和科學哲學大會,但在1963年發表在Theoria雜誌上。該論文在Kyburg(1987年)轉載。

Smullyan的變體
Raymond Smullyan對彩票悖論提出了以下變體:一個是前後矛盾的,還是自負的。 由於人腦是有限的,因此人們相信有限的命題p1…pn。 但是,除非您自負,否則您會知道自己有時會犯錯誤,而且並非所有您相信的都是真實的。 因此,如果您不自負,則知道至少有一些pi是錯誤的。 但是,您分別相信每個pi。 這是不一致的。(Smullyan 1978,第206頁)

文學簡短指南
彩票悖論已成為認識論中的中心話題,圍繞這一難題的大量文獻有可能掩蓋其最初的目的。 Kyburg提出了一項思想實驗,以了解他關於概率的創新思想的特徵(Kyburg 1961,Kyburg和Teng 2001),這些思想是圍繞認真對待上述前兩個原則而拒絕最後一個原則而建立的。 對於Kyburg來說,彩票悖論並不是真正的悖論:他的解決方案是限制聚合。

即使這樣,對於正統的概率論者來說,第二和第三條原則是主要的,因此第一條原則被拒絕了。 在這裡也可以看到聲稱實際上並沒有悖論而是一個錯誤:解決方案是拒絕第一個原則,並隨之拒絕理性接受的想法。 對於任何具​​有概率基礎知識的人,應該拒絕第一條原則:對於一個非常可能發生的事件,對該事件的理性信念只是認為它很有可能,而不是事實。

認識論的大多數文獻都是從正統的觀點出發來解決這個難題的,並試圖解決這樣做所面臨的特殊後果,這就是為什麼彩票與懷疑論的討論相關聯的原因(例如,Klein 1981),以及主張知識主張的條件。 (例如,JP Hawthorne 2004)。 通常還可以找到針對難題的提議解決方案,這些解決方案可以開啟彩票思想實驗的特定功能(例如Pollock 1986),然後邀請將彩票與其他認知悖論(例如David Makinson的序言悖論)進行比較,並提出“彩票”的結構有所不同。 (Kyburg 1997)和(Wheeler 2007)也討論了此策略。 大量的參考書目包括在(Wheeler 2007)中。

哲學邏輯學家和AI研究人員往往對調和這三個原理的弱化版本很感興趣,並且有很多方法可以做到這一點,包括吉姆·霍桑和盧克·博文斯(1999)的信念邏輯,格里高利·惠勒(2006)使用1-單調能力,布賴森·布朗(Bryson Brown(1999)的保留主義超一致邏輯的應用,伊戈爾·杜文(Igor Douven)和蒂莫西·威廉姆森(Timothy Williamson)(2006)吸引了累積的非單調邏輯,霍拉西奧·阿洛·科斯塔(Horacio Arlo-Costa)(2007)使用最小模型(古典)模態邏輯和喬·哈珀恩(Joe Halpern)(2003)使用一階概率。

最後,科學哲學家,決策科學家和統計學家傾向於將彩票悖論看作是人們在構建用於匯總不確定信息的有原則方法時所面臨的複雜性的早期示例,該方法現已成為一門學科,並擁有專門的期刊,信息融合,以及對普通地區期刊的持續貢獻。

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意外的絞刑悖論

意外的絞刑悖論或子手悖論是一個人對未來事件發生時間的期望的悖論,他們被告知將在意外的時間發生。 悖論被廣泛地應用於囚犯的絞刑或突擊測試的考驗。 它可以簡化為摩爾的悖論。

儘管學術界興趣濃厚,但對其確切性質尚無共識,因此尚未建立最終正確的解決方案。 邏輯分析表明,問題出在法官判刑核心的自相矛盾的自我參照陳述中。 認識論的悖論研究表明,它開啟了我們知識的概念。 儘管看起來很簡單,但悖論的內在復雜性甚至導致其被稱為哲學的“重大問題”。

悖論的描述
悖論描述如下:

法官告訴被判刑的囚犯,他將在下週的一個工作日中午被絞死,但死刑對囚犯而言是一個驚喜。 直到儈子手在當天中午敲開牢房的門時,他才知道上吊的日子。

在考慮了他的判決之後,囚犯得出的結論是他將逃脫絞刑。 他的推理分為幾個部分。 他首先得出結論,“驚喜懸掛”不能在星期五,好像他在星期四之前還沒有被絞死,只剩下一天了,因此,如果他在星期五被絞死也就不足為奇了。 由於法官的判決規定絞刑對他而言是一個驚喜,因此他得出​​結論認為絞刑不會在星期五發生。

然後,他又認為也不能在周四進行絞刑,因為周五已經被取消,如果他在周三中午之前還沒有被絞刑,則必須在周四進行絞刑,因此週四的絞刑也就不足為奇了。 通過類似的推理,他得出結論,在星期三,星期二或星期一也不會發生絞刑。 他高興地退休,回到牢房裡,確信根本不會發生絞死。

下週,the子手在星期三中午敲開了囚犯的門,儘管有上述種種情況,這對他來說還是一個驚喜。 法官所說的一切都是真實的。

其他版本的悖論用令人驚訝的消防演習,檢查,突擊測驗,A / B測試發射或門後的獅子代替了死刑判決。

古典表現
1948年7月,英國哲學雜誌《心靈》(Mind)首先以書面形式提到了這一悖論。 其中的變種是:一名軍事指揮官已宣佈在接下來的一周內全面停電(“ A級停電”),受影響的人應該僅在當天的6:00後找到有關停電的信息。

自1943年以來,這種悖論一直在口頭傳播。 據報導,瑞典廣播電台於1943年或1944年宣布進行空襲演習,並將在下週進行。 補充說,即使在練習日的早晨,也沒有人能預測何時舉行。 斯德哥爾摩Östermalms學院的數學教授Lennart Ekbom已經意識到其中涉及的邏輯困難。

印第安納大學科學邏輯學教授邁克爾·斯克里文(Michael Scriven)於1951年也在思想上將這一悖論討論為“新的強大的悖論”。

在經典的表述中,以被判處死刑的人為例描述了悖論。 銷毀版本將在不久的將來向學生宣布一項突擊測試,以取代囚犯的處決。

行刑人的悖論
囚犯被判處一周之內(週一至週日)被處決。 執行總是在中午進行。 他沒有被告知處決之日要保持焦慮。 他還被告知任命對他來說完全是意外的。 但是,他認為:“如果我在一周的倒數第二天中午倖存下來,那麼我必須在最後一天的中午被處決,但這並不意外。 因此,可以排除最後一次可能的約會。 如果我仍然在倒數第二個日期的中午之前居住,則可以將死刑安排在最後一個或倒數第二個日期,但是我已經排除了最後一個倒數,所以只有倒數第二個。 但是,這並不意外。 依此類推:我仍然在第二次約會之前中午居住,

意外測試
一位老師對她的班級說:“下週,您將針對這個話題寫一個完全令人驚訝的測試!” 其中一個孩子認為這是不可能的。 她說:“全班在星期一,星期四和星期五都有這門課。 如果測試是在星期五進行的,這並不奇怪,但是可以預料到在課程之後的星期四。 考試在星期四進行嗎? 不,因為我已經排除了星期五,而星期一已經結束,也可以排除在外。 因此測試必須在星期一進行,也就不足為奇了。 ”老師還能將她的聲明設為正確嗎?

威森悖論
根據卡普蘭和蒙塔古的說法,這種悖論可以簡化為所謂的“知識悖論”(知識的悖論),它由以下句子組成:“眾所周知,這句話是錯誤的。”

分析
除了解決矛盾之外,還出現了一個問題,那就是犯人邏輯上的錯誤在哪裡,犯人認為他會生存。

1.分析:囚犯的錯誤在於認識到矛盾之後進行了歸納步驟。 基本上,您可以從錯誤中推斷出一切,包括生存(不適用)。 如果囚犯在周日早上還活著,他知道警衛發表的兩個陳述之一(“您最遲將在周日被處決”和“您將不知道前一天”)是錯誤的。 因為他不知道這兩個陳述中哪一個是錯誤的,所以他無法得出任何進一步的結論。

當然,囚犯可以得出結論:“如果看守的兩個說法都是正確的,那麼我將不再經歷星期日。”

在周六早上,有以下選擇:“要么是今天執行絞刑的人,要么是警衛撒謊的。” 囚犯不知道關於“或”的兩個陳述中哪一個是正確的。 go子手Ergo可以在星期六“意外地”來。 當然,尤其是在星期五,星期四,星期三,星期二或星期一。

2.分析:讓我們假設囚犯在周六晚上還活著:他能百分百確定自己將在周日執行死刑嗎? 答案是肯定的,但正確的答案是“否”。 該囚犯認為,下週他將被意外處決的說法是正確的; 但是,即使他假設有一個意想不到的處決,即使在星期六晚上,也不能指望在周日被處決,因為這會與他自己的假設相矛盾。 埃爾戈(Ergo),即使在周日也可能會令人驚訝地處決該囚犯,據此駁回其推理。

模擬案例:我將給您您所要求的書,我的禮物將是一個驚喜。 乍一看,這兩個諾言只能兌現。 但是,如果另一個人假設我的陳述是正確的,那麼他們就不可能預測我會給他們相應的書,因為從那個人的角度來看,這兩個部分陳述彼此矛盾,這使得預測是不可能的。 所以我可以給這個人他們想要的書,這是一個驚喜。

將這兩種情況都變成悖論的邏輯錯誤是假設可以根據事實做出明確的預測。 這是不正確的,原因很簡單:兩次都聲明不可能進行預測。 由於必須假定該陳述是真實的,因此不能排除任何一天(根據囚犯的情況),因為排除在外也是一個明確的預測,與意外陳述相矛盾,因此不能接受。 換句話說,執行語句是自動執行的,它可以在一周的任何一天進行; 因此,即使星期天也不能排除。

3.分析:囚犯的邏輯推理是向後歸納。 也就是說,他的論點是這樣的:“如果我仍然在周六晚上住……”,如果他因為事先被處決而不再經歷週六,則不再可以使用該論點。 他的推理暗示他仍然活著,可以肯定或感到驚訝。 換一種說法:從直到週六(包括週六)都沒有執行死刑的假設,可以正確地得出結論,星期日也不是死刑的日期。 然後從該第一結論得出進一步的結論,即也應排除週六,然後星期五,然後星期四等。 由於這些結論是彼此基於的,因此最終基於第一個結論,因此,只有在滿足第一個結論的前提條件(即,直到週六才執行死刑)的情況下,所有這些結論才適用。 這樣一來,思路就只能證明,如果他倖存到週六晚上,就不能執行該罪犯。 否則,結論只是重複其假設。

邏輯學校
由於“驚奇”一詞的含糊含義,很難將法官的宣布表述為正式邏輯。 制定的嘗試可能是:

囚犯將在下週被絞死,並且(假定絞刑發生在一周內(A))將無法推斷出前一天晚上的絞刑日期。

鑑於此消息,囚犯可以推斷出絞刑不會發生在一周的最後一天。 但是,為了重現辯論的下一階段,該階段消除了一周的倒數第二天,囚犯必須辯稱,他根據陳述(A)推斷出絞刑不會發生在最後一天的能力暗示倒數第二天吊死也就不足為奇了。 但是,由於“令人驚訝”的含義已被限制為無法從懸掛將在一周內發生的假設中得出,而不是無法從陳述(A)中得出,因此該論點被阻止了。

這表明更好的表述實際上是:

該囚犯將在下週被絞死,並且在使用此聲明作為公理(B)之前的晚上無法推斷其日期。

惠譽(Fitch)已表明,該陳述仍可以形式邏輯來表達。 他採用了一種等效的悖論形式,將一周的時間縮短到只有兩天,他證明了儘管自指並非在所有情況下都是不合法的,但在這種情況下,這是因為陳述是自相矛盾的。

認識論學校
已經提出了各種認識論的表述,這些表述表明,囚犯對他將來將要知道的東西的默示假設,以及對知識的一些似乎合理的假設是不一致的。

Chow(1998)對這一悖論的一個版本進行了詳細的分析,其中在兩天之一中發生了令人驚訝的懸掛。 將Chow的分析應用於意外吊銷的情況(為簡單起見,一周又縮短為兩天),我們首先觀察到法官的宣布似乎肯定了三件事:

S1:絞刑發生在星期一或星期二。
S2:如果絞刑發生在星期一,那麼囚犯將在周日晚上不知道會發生在星期一。
S3:如果絞刑發生在星期二,則囚犯將在星期一晚上不知道會發生在星期二。

第一步,囚犯認為不可能發生在星期二發生絞死的情況,因為這會導致矛盾:一方面,在S3之前,囚犯無法預測星期一晚上的絞刑。 但另一方面,通過S1和消除程序,囚犯將能夠預測週一晚上掛起的星期二。

Chow的分析指出了囚犯推理中的一個細微缺陷。 不可能不是星期二休息。 相反,不可能發生這樣的情況,儘管囚犯在星期一晚上知道法官的主張S1,S2和S3都是正確的,但在星期二還是發生了絞刑。

囚犯的推理引起了悖論,之所以能夠起步,是因為囚犯默認地認為,在星期一晚上,他(如果他還活著的話)將知道S1,S2和S3是真實的。 出於多種不同原因,這種假設似乎毫無根據。 可以說,法官宣布某事真實是永遠不可能成為囚犯知道某事真實的理由。 此外,即使囚犯當前知道某事是正確的,未知的心理因素也可能在將來抹去這一知識。 最後,周杰倫認為,由於囚犯應該“知道”為事實的陳述是關於他無法“知道”某些事情的陳述,因此我們有理由相信,意料之外的懸吊悖論只是對他的錯綜複雜的表述。摩爾的悖論。 通過將一周的時間縮短為一天,可以找到一個合適的類比。 然後法官的句子變成:您明天將被絞死,但您不知道。

有人建議,囚犯的合理消滅使一周中的任何一天成為執行死刑的有效日期。

評論
這種悖論是如此令人不安,因為儘管學生似乎證明了這一斷言是自相矛盾的,但事實最終還是如此。 已為她提出了一些解決方案。

可以說,尚不清楚允許學生期望什麼,什麼時候應該感到驚訝。 如果學生們偏執狂,並且他們每天都認為自己第二天會接受考試,那麼顯然這並不奇怪,並且悖論就消失了。 在研究悖論時,我們不會傾向於重複他們的決定,也就是說,我們認為學生只能在考試當天選擇一次。 但是,根據他們的推理,學生確實提供了這種自由:“如果我們在星期四沒有自由,那麼我們將決定是星期五,所以在星期三,我們將決定是星期四……”。

另一個可行的解決方案是將學生的觀點與世界其他地方的觀點進行比較。 我們可以說,如果他們不能合理地,持續地證明以教師的主張作為公理會以這種方式發生,那麼他們將“感到驚訝”。 在這種情況下,學生在考試時會感到非常驚訝。 儘管他們無法證明何時進行測試,但所有其他觀察員都可以。 這種矛盾只有在學生試圖證明這一矛盾時才出現。

在他的公理是自我指稱的意義上,這種悖論類似於騙子的悖論,也就是說,他們談論自己的真實性。 它與它的不同之處在於,它添加了一個新元素,即他們指出了應該嘗試的人。 “驚奇”一詞本質上是一個公理,它表明學生不能嘗試其他人嘗試的某些事情。 這意味著確實沒有悖論,因為由於公理指的是進行測試的人,因此我們很有可能證明學生無法做到的事情。

有趣的是,哥德爾的不完全性定理可以看作是將說謊者的悖論轉化為形式數學的一種方式,因為他找到了讓公理自我參照的形式方法。 對於這種悖論沒有這樣的翻譯,因為形式上的公理不能以這種方式指代特定的觀察者。

在文學中
這種悖論出現在安德魯·克魯梅(Andrew Crumey)的小說《我先生》(Mr Mee)中:

當蒂索(Tissot)對他的持續困擾和對我辦公桌的近乎永久性的佔用感到惱怒時,我對他說,’下週,我將帶你的妻子來,以便您可以和她說話。人員並解決您的困難。 我知道你不想見她,所以我不會告訴你她會在哪一天到來。 但您可以確定在一周結束之前會見她。”

天梭知道他的妻子不會在下週五被帶到他面前,因為在這種情況下,他可以在周四晚上確定她一定要來,而且他可以使自己不在。 但同樣地,我還必須避開星期四,因為否則周三過去時,如果沒有場景,他將被預先警告。 天梭以類似的方式每隔一天開除一次,得出的結論是,他的妻子永遠不會出人意料地對他進行騷擾。 但是在星期四,他回答了不僅要受到她而且要受到母親歡迎的那扇門,當我讓自己感到恐懼的時候,他們兩個都用拳頭將他裝在耳朵裡,悄悄地判斷一個邏輯學家如此可憐,應該得到他的一切。

這種悖論還出現在兒童小說《路邊·薩查爾的路邊學校的更多側面算術》中。 在其中一個故事中,老師Jewls夫人計劃在下週進行一次小測驗,但不會事先通知全班。 與經典悖論不同的是,學生們一勞永逸地消除了這一天,導致傑爾斯夫人放棄了這一想法。

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理髮師悖論

理髮師悖論是從羅素悖論派生出來的難題。 伯特蘭·羅素(Bertrand Russell)自己曾用它來說明這種悖論,儘管他將其歸因於一位不願透露姓名的人,並向他提出了建議。 這個難題表明,從邏輯上講,似乎不可能的情況是不可能的。 具體來說,它描述了一個理髮師,他被定義為既剃光自己又不剃光自己。

悖論
理髮師是“剃光所有剃毛刀的人,只有剃光自己剃毛刀的人”。 問題是,理髮師會刮鬍子嗎?

回答這個問題會導致矛盾。 理髮師不能刮鬍子,因為他只刮鬍子那些不刮鬍子的人。 因此,如果他刮鬍子,他將不再是理髮師。 相反,如果理髮師不剃光自己,那麼他就適合那些會被理髮師剃光的人,因此,作為理髮師,他必須剃光自己。

歷史
這種悖論常常被錯誤地歸因於貝特朗·羅素(例如,阿哈!的馬丁·加德納(Martin Gardner)!)。 Gardner提出將其作為Russell悖論的另一種形式,Russell提出該悖論是為了證明格奧爾格·坎托和Gottlob Frege使用的集合論包含矛盾。 但是,羅素否認理髮師的悖論是他自己的一個實例:

這種矛盾[羅素悖論]非常有趣。 您可以修改其形式。 有些修改形式有效,有些則無效。 我曾經向我建議過一種無效的表格,即理髮師是否刮鬍子的問題。 您可以將理髮師定義為“剃光所有剃毛刀的人,而剃光自己剃毛刀的人”。 問題是,理髮師會刮鬍子嗎? 用這種形式的矛盾不是很難解決的。 但是,在我們以前的形式中,我認為很明顯,您只能通過觀察類是否是其成員的整個問題是無意義的,即沒有類是其自身的成員,這是無稽之談。 ,甚至說這也不是真的,因為整個單詞的形式只是無意義的雜音。
—伯特蘭·羅素(Bertrand Russell),邏輯原子論哲學

這一點在《羅素悖論》的“應用版本”中有進一步闡述。

聲明
我們可以將悖論陳述如下:

村莊的市議會投票通過一項市政法令,責令其(男性)理髮師剃光該村莊所有不剃光自己的男性居民,而只剃光這些。

作為該村居民的理髮師不能遵守該規定,因為:

如果他自己刮鬍子,就會違反規則,因為理髮師只能剃那些不剃自己的男人。
如果他不剃光自己(不管是剃光還是留鬍子),那麼他也有過錯,因為他負責給不剃光自己的男人剃光。
因此,該規則不適用。 但是,這是一個悖論嗎? 沒有理由相信鄉村委員會或任何其他機構可能是荒謬法律的源頭。 實際上,這種“悖論”遠非邏輯上的矛盾,它只是表明尊重這一規則的理髮師是不存在的。 它說明瞭如果R是任意二進制關係(在這種情況下為“ … shave…”),則以下語句以正式語言編寫:

¬y(x(y R x⇔¬x R x)
是用於計算一階謂詞的通用公式。 我們將參考有關拉塞爾悖論的文章,以了解在天真的集合論中的隸屬關係情況下,這為什麼會導致真正的對立,也就是說,導致理論上的矛盾。

由於它實際上適用於任何(二元)關係,因此可以給它帶來或多或少的幸福,多種變體。 讓我們援引Martin Gardner的觀點:在邏輯上是否可以編寫一個目錄,列出所有未列出自己的目錄,僅列出這些目錄? 答案是否定的,因為此目錄無法列出,也無法列出。

一階邏輯
{\ displaystyle(\ exists x)({\ text {person}}(x)\ wedge(\ forall y)({\ text {person}}(y)\ rightarrow({\ text {shaves}} {(x, y)\ leftrightarrow \ neg {\ text {shaves}}(y,y)))}}
由於通用量詞,該句子無法令人滿意(矛盾)(\對所有人 )。 通用量詞y將包括域中的每個元素,包括我們臭名昭著的理髮師x。 因此,當將值x分配給y時,該句子可以重寫為{\ text {shaves}}(x,x)\ leftrightarrow \ neg {\ text {shaves}}(x,x),這是矛盾的一個例子a \ leftrightarrow \ nea

變體
悖論有很多變體,例如:

塞維利亞的理髮師剃光了所有塞維利亞的男人,除了那些自己刮鬍子的人。 這種裝飾沒有提供羅素的毫無意義的定義,而只是暗示理髮師不是塞維利亞的男人(也許是女理髮師或者是在附近城鎮工作的理髮師)。

一個自相矛盾的命令:“不允許所有市長居住在自己的城市,而必須搬到專門建立的市長城市布姆斯塔德。 布姆斯特市長現在住在哪裡? ”

接近Russellian對立性:圖書館想要創建一個書目目錄,該目錄列出了所有不包含對自己的引用的書目目錄。 該目錄也要列出嗎? 如果是這樣,他會收到自己的參考,但不屬於列出的目錄集中。 如果不是,它不包含任何對自身的引用,但仍屬於此集合。

Euathlos的古代詭辯也與之有關。

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巴爾特里的悖論

巴爾塔里(Bhartrhari)的悖論:認為有些事物是無法命名的,這與通過稱其為“無名”來命名某事物的觀念相衝突。

巴爾塔哈里(Bhartṛhari)是一位梵文作家,通常被賦予以下兩種有影響力的梵文文本:

Vākyapadīya,關於梵文語法和語言哲學,是印度語法傳統的基礎文本,解釋了有關單詞和句子的眾多理論,包括後來被稱為Sphoṭa的理論; 巴爾塔里(Bhartrhari)在這部著作中還討論了邏輯問題,例如說謊者悖論和無法命名或不可稱義的悖論,這被稱為巴爾塔里的悖論,並且
akaatakatraya,梵文詩歌作品,由三個大約每百節的收藏組成; 構成上述兩篇語法作品的作者可能是,也可能不是同一位作者。
在中世紀的印度學術傳統中,假定兩個文本都是同一個人撰寫的。 現代語言學家對此說法持懷疑態度,這是因為有一種論點把語法追溯到詩歌之後。 然而,自1990年代以來,學者們一致認為,這兩部作品的確可能是當代的,在這種情況下,只有一位巴爾塔哈里(Bhartrihari)撰寫了這兩種文本是合理的。

語法和詩歌作品在各自的領域都產生了巨大的影響。 尤其是語法,它從語言的整體角度出發,反對Mimamsakas和其他語言的構成性立場。

這首詩是短詩,被收錄到三個世紀,每首詩約一百首。 每個世紀都有不同的風俗或審美情調。 總體而言,他的詩歌作品在傳統和現代學術界都得到了高度評價。

巴爾特里哈里(Bhartrihari)這個名字有時也與1世紀傳奇人物烏賈尼(Ujjaini)的國王巴爾特里哈里·塔巴·沙塔卡(Bhartrihari traya Shataka)相關聯。

日期和身份
中國旅行者易經的記載表明,公元670年巴特里哈里的語法為人所知,他可能是佛教徒,詩人卻不知道。 在此基礎上,學術觀點曾將語法歸因於一位來自公元7世紀的同名作家。 但是,其他證據表明日期要早得多:

長期以來,巴特里哈里(Bhartrihari)一直生活在公元七世紀,但是根據中國朝聖者《易經》的證詞,他被佛教哲學家迪尼亞加(Dignaga)所熟知,這使他的約會追溯到公元五世紀。

一段c。 450-500“絕對不晚於425-450”,或者在Erich Frauwallner之後450-510甚至400 CE或更早。

易靜的另一說法,即巴特里哈里(Bhartrihari)是佛教徒,似乎不成立。 他的哲學立場被廣泛認為是維亞卡蘭(Vyakaran)或文法學派的分支,與奈亞耶卡斯(Naiyayikas)的現實主義緊密相關,並且與狄加納(Dignaga)等佛教主義立場截然相反,後者更接近於現象主義。 它也反對像庫馬里拉·巴塔(Kumarila Bhatta)這樣的其他媽媽。 但是,他的某些思想隨後影響了一些佛教流派,這可能使易靜推測他可能是佛教徒。

因此,總的來說,似乎可以接受傳統的梵文主義觀點,即Śatakatraya的詩人與語法學家巴特哈里(Bhartṛhari)相同。

領先的梵語學者英格爾斯(Ingalls,1968)提出:“我認為沒有理由他不應該撰寫詩歌以及語法和形而上學”,例如Dharmakirti,Shankaracharya等。 易靜本人似乎以為自己是同一個人,因為他寫道,瓦卡帕迪亞(Vakyapadiya)的作者巴赫塔里(Bhartṛhari)以其在佛教僧侶和享樂生活之間的搖擺而著稱,並撰寫了有關該主題的經文。

瓦基帕迪亞
巴爾特里哈里(Bhartrihari)對語言的觀點建立在帕坦加利(Patanjali)等早期語法學家的觀點之上,但相當激進。 他的語言概念的關鍵要素是“sphoṭa”(sphoṭa)概念-sphoṭayana這個詞可能基於帕尼尼(Pāṇini)所指的一個古老的語法學家Sphoṭāyana,現已失傳。

Patanjali(公元前2世紀)在他的Mahabhashya中使用sphoṭa一詞來表示語言的聲音,即普遍的聲音,而實際的聲音(dhvani)可能長或短,或以其他方式變化。 可以認為該區別類似於當前音素概念的區別。 然而,巴特哈里(Bhatrihari)則將話音(sphota)應用於話語的每個元素,將varṇa視為字母或音節,將pada視為單詞,將vākya用作句子。 為了產生語言不變性,他認為必須將它們視為單獨的整體(分別為varṇasphoṭa,padasphoṭa和vākyasphoṭa)。 例如,相同的語音或varṇa在不同的單詞上下文中可能具有不同的屬性(例如,同化),因此只有在聽到整個單詞後才能分辨出聲音。
此外,巴特里哈里(Bhartrihari)主張一種整體意義的觀點,他說,話語的意義只有在收到整個句子(vākyasphoṭa)之後才知道,它不是由可能改變的單個原子元素或語言單元組成的他們根據話語中的後續元素進行解釋。 此外,單詞僅在其整體含義是已知的句子的上下文中被理解。 他的論點是基於語言習得的,例如考慮一個孩子在觀察下面的交流:

老年人(uttama-vṛddha“長大”):說“帶馬”
較年輕的成年人(madhyama-v“ ddha“半生”):反應是帶馬

觀察到這種情況的孩子現在可能會知道單位“馬”是指動物。 除非孩子知道句子的先驗含義,否則他將很難推斷出新穎單詞的含義。 因此,我們通過“分析,綜合和抽象”(apoddhāra)整體上把握了句子的含義,並將單詞作為句子的一部分,並將單詞含義作為句子的一部分。

言語理論很有影響力,但遭到許多其他人的反對。 後來,像庫馬里拉·巴塔(Kumarila Bhatta)(約650年)這樣的Mimamsakas強烈反對vākyasphoṭa的觀點,並主張每個單詞的表達力,主張意義的組成(abhihitānvaya)。 然而,在Mimamsakas中的Prabhakara學派(約670年)則採取了較少的原子論立場,認為存在詞義,但取決於上下文(anvitābhidhāna)。

在關於關係的一章的一部分中,巴特里(Bhartrhari)討論了騙子悖論,並確定了一個隱藏的參數,該參數將日常生活中無問題的情況變成了頑固的悖論。 此外,Bhartrhari在這裡討論了一個被Hans和Radhika Herzberger稱為“ Bhartrhari的悖論”的悖論。 這種悖論源於“這是無法命名的”或“這是不明顯的”的說法。

Mahābhāṣya-dīpikā(也稱Mahābhāṣya-ṭīkā)是Patanjali的Vyākaraṇa-Mahābhāṣya(也歸因於Bhartṛhari)的早期子註釋。

Śatakatraya
巴爾特里哈里(Bhartrihari)的詩是格言,並評論當時的社會風尚。 收集的作品被稱為Śatakatraya,“三個šatakas或’數百個’(百年”),由關於shringara,vairagya和niti的三個主題合集(鬆散地表示:愛,冷漠和道德行為)組成,每節一百節。

不幸的是,這些聖t的現存手稿版本在所包含的經文中差異很大。 DD Kosambi確定了所有版本共有的200個內核。

這是一個評論社交道德的樣本:
一個有錢人被認為是高齡人
明智的學術和敏銳的
口才甚至英俊-
所有的美德都是黃金的配件!

這裡是一個關於愛的主題:

一個人的辨別力的清晰明亮的火焰死亡
當一個女孩用深黑色的眼睛遮住它時。 [Bhartrihari#77,tr。 約翰·布勞 詩167]

巴爾特里的悖論
Bhartrhari的悖論是Hans和Radhika Herzberger於1981年發表的一篇論文的標題,該論文提請人們注意在屬於五世紀印度婆羅門的Bhartṛhari的作品Vākyapadīya中有關自指自引悖論的討論。

在關於邏輯和語言關係的這一章中,Bhartrhari的Sambandha-samuddeśa討論了一些具有悖論性質的陳述,包括屬於說謊者悖論家族的sarvammithyābravīmi“我所說的一切都是假的”,以及由此產生的悖論。從有關某物無法命名或不可指稱的說法中(梵語:avācya):通過稱其為不可命名或不可指稱來準確地命名或可指稱。 當應用於整數時,後者今天稱為Berry悖論。

巴爾塔里(Bhartrhari)的興趣不在於通過從實用語境中抽像出來來增強此悖論和其他悖論,而是探索如何從日常交流中無問題的情況中產生頑固的悖論。

交流的一種無問題的局面變成了一個悖論-我們要么矛盾(virodha),要么是無限回歸(anavasthā)-當通過接受同時存在的相反功能(aparavyāpāra)從含義和時間擴展中提取抽象時前一個。

對於巴爾塔里(Bhartrhari)來說,分析和解決不可指稱的悖論非常重要,因為他認為仍然可以指出無法表明的東西(vyapadiśyate)並且可以理解為存在(pratīyate)。

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漿果悖論

貝里悖論是一種自我指稱的悖論,它是由諸如“無法在60個字母以下定義的最小正整數”(一個包含57個字母的短語)之類的表達式引起的。 貝特朗·羅素(Bertrand Russell)是第一個討論印刷版悖論的人,將其歸因於牛津Bodleian圖書館的初級圖書管理員GG Berry(1867–1928)。

總覽
考慮以下表達式:
“不可在60個字母以下定義的最小正整數。”

由於英語字母表中只有26個字母,因此有限地存在少於60個字母的短語,因此也有有限的許多正整數,由少於60個字母的短語定義。 由於存在無限多個正整數,所以這意味著存在不能用少於60個字母的短語定義的正整數。 如果存在滿足給定屬性的正整數,則存在一個滿足該屬性的最小正整數; 因此,存在一個最小的正整數,滿足屬性“不能在60個字母以下定義”。 這是上面表達式所指的整數。 但是上面的表達式只有57個字母長,因此可以在60個字母以內定義,並且不是不能在60個字母以內定義的最小正整數,因此不由該表達式定義。 這是一個悖論:此表達式必須定義一個整數,但是由於該表達式是自相矛盾的(它定義的任何整數都可以用少於60個字母定義),因此不能定義任何整數。

也許與貝瑞悖論的另一個有用比喻是“難以形容的感覺”。 如果感覺確實難以言喻,那麼對這種感覺的描述就不會是真的。 但是,如果“難以形容”一詞傳達了某種關於感覺的信息,那麼它可能被認為是一種描述:這是自相矛盾的。

數學家和計算機科學家Gregory J. Chaitin在《未知》(1999)中添加了以下評論:“好吧,墨西哥數學史學家亞歷杭德羅·加西迪哥(Alejandro Garcidiego)費勁地找到了[貝里(Russell)致辭的那封信),一個不同的悖論。 貝里的信實際上談到的是第一個序號,它不能用有限的單詞來命名。 根據Cantor的理論,這樣的序數必須存在,但是我們只是用有限數量的單詞來命名它,這是一個矛盾。”

說明
自然數可以用以下語句來描述(用法語):“十冪一百”或“二十世紀已知的最大質數”。 因此,“用十五個或更少的單詞表示可描述的整個自然數”的集合是有限的; 因此在此集合之外肯定會有許多整數。 因此,它們中最小的是“不能用十五個或更少的單詞表示的最小自然整數”。 但恰恰是,這條描述得很完美的陳述只包含15個字。

我們也可以建議創建新單詞,但是如果我們限製字母的數量,它們就不是無限數量的:用單詞(而不是單詞)的限制來重寫措辭就可以繞開該論點。

這個悖論與理查德的悖論非常接近(有時也用這個名字來稱呼),可以將其視為有限變體。 龐加萊想了解邏輯悖論在不安全處理無限時的原因,他說,關於貝里悖論只使用有限的概念,“他們(某些邏輯學家)自己趨向於陷落樂趣的陷阱,甚至他們也必須非常小心,不要跌落到陷阱旁邊”。

我們還可以認為,它與某些形式的說謊者悖論(涉及自欺欺人的句子)所涉及的問題類型相同。 通常可以通過形式化語言(在這裡可以描述整數)並將其與標有Berry句子的元語言區別開來解決,因為Berry句子不再是自相矛盾的(另請參閱有關Richard悖論的文章,以及以證明Kolmogorov的複雜性不可計算的形式翻譯此悖論(參考)。

解析度
由於“可定義”一詞在系統上含糊不清,因此出現了上述Berry悖論。 在有關Berry悖論的其他表述中,例如改為:“……用更少的名字無法命名……”,“可命名”一詞也具有這種系統的模糊性。 這種說法會引起惡性循環謬誤。 具有此類歧義的其他術語包括:可滿足,正確,錯誤,函數,屬性,類,關係,基數和順序。 要解決這些悖論之一,就必須準確查明我們使用語言的地方出了問題,並規定了可以避免使用的語言使用限制。

可以通過合併語言中的意義分層來解決這一悖論。 具有系統歧義的術語可以用下標寫成,表示在解釋中,一個意義級別被認為比另一個意義級別更高。 在此方案下,“不能少於11個單詞的數字不能命名為0”可以少於11個單詞的名稱命名為1。

正式類似物
使用程序或有界長度的證明,有可能像格雷戈里·柴廷(Gregory Chaitin)所做的那樣,用正式的數學語言構造貝瑞表達式的類似物。 儘管形式類似物不會導致邏輯上的矛盾,但它確實證明了某些不可能的結果。

喬治·布洛斯(George Boolos,1989)建立在貝里悖論的形式化版本上,以一種新穎且簡單得多的方式證明了哥德爾的不完全性定理。 他的證明的基本思想是,當且僅當x = n代表某個自然數n時,擁有x的命題可以稱為n的定義,並且集合{(n,k):n的定義為可以表示是可表示的(使用Gödel編號)。 然後,可以將命題“ m是無法在少於k個符號中定義的第一個數字”定為正則,並表明它是一個定義。

與Kolmogorov複雜性的關係
通常,不能明確定義描述給定字符串所需的最小符號數(給定特定的描述機制)。 在這種情況下,術語“字符串”和“數字”可以互換使用,因為數字實際上是一串符號,例如英語單詞(例如悖論中使用的單詞“十一”),而另一方面用數字來指任何單詞,例如通過給定字典中其位置的數量或通過適當的編碼。 某些長字符串可以使用比完整表示所需的符號少的符號來精確描述,這通常是使用數據壓縮實現的。 然後,將給定字符串的複雜度定義為描述((明確)引用該字符串的完整表示形式)所需的最小長度。

Kolmogorov複雜度是使用形式語言或Turing機器定義的,這避免了給定描述導致哪個字符串產生歧義。 可以證明Kolmogorov複雜度是不可計算的。 矛盾的證明表明,如果有可能計算Kolmogorov複雜度,那麼也有可能係統地生成與此相似的悖論,即描述比所描述字符串的複雜性所暗示的要短。 就是說,貝里數的定義是自相矛盾的,因為實際上不可能計算出定義一個數需要多少個單詞,並且我們知道,由於悖論,這種計算是不可能的。

分類
悖論 邏輯

鱷魚困境

鱷魚悖論,也稱為鱷魚詭辯,是邏輯上的悖論,與騙子悖論屬於同一悖論家族。 該前提規定,鱷魚已經偷了一個孩子,並向父親/母親保證,當且僅當他們正確地預測了鱷魚接下來會做什麼時,他們的孩子才會被遣返。

內容
鱷魚禁閉是古代的經典辯證悖論,指的是鱷魚與母親之間的虛構對話。 鱷魚從母親那裡偷走了一個孩子。 在母親要求遣返孩子的情況下,鱷魚承諾在母親正確猜出對孩子的處理方式後,才將子女送還。

這樣,母親就容易被抓住。

她的回答是,鱷魚會將孩子帶回,這將根據他們的建議邏輯,以最大的安全性讓孩子失去,因為鱷魚比孩子的利益攻略者更願意保留孩子。

但是,如果她答复說鱷魚沒有按照孩子的興趣歸還孩子,那麼她就把鱷魚置於爭論的困境中。 如果鱷魚撫養孩子,那就違反了自己的話。 因此,鱷魚只能回答說自己不受其話語約束,因為母親自己已經排除了通過回答返回的邏輯可能性。 母親只能繼續按照合同要求其子女。

悖論聲明
我們可以將悖論陳述如下:

一條鱷魚抓住嬰兒,對母親說:“如果您猜到我要做什麼,我會把嬰兒還給您,否則我會吃掉。 ”

假設鱷魚信守諾言,那麼母親必須說些什麼才能使鱷魚把孩子還給母親?

母親通常的回答是:“你會吃掉它! ”

如果鱷魚吞噬了孩子,那麼母親會猜對了,鱷魚將不得不遣返孩子。

如果鱷魚把孩子送回去,那母親就會錯了,鱷魚不得不吞掉它。

在這兩種情況下,鱷魚都無法保持其言行一致,並且面臨著一個悖論。

根據劉易斯·卡洛爾(Lewis Carroll)的說法,鱷魚會吞噬這個孩子,因為它是自然的。 Lucien de Samosate在拍賣會上的對話教派中將這種悖論告訴了Stoic Chrysippus的嘴裡。

昆蒂利安在《演講機構摘錄》中摘錄了這種鱷魚的謬論,該書摘自一世紀的拉丁文。

但是,如果母親回答:“您要把它還給我”,那麼就不再有悖論,這個主張是正確的,無論鱷魚是把孩子還給孩子還是吞噬了他。

對與錯
該悖論與說謊者的悖論相似,從某種意義上說,如果我們希望該陳述為真,則該陳述為假,而如果我們希望該陳述為假,則其成為真實。

母親有一個更微妙的反應,那就是:“你要吞掉我的孩子,或者要把他還給我!” ”

鱷魚不能遵守諾言併吞噬孩子。 他信守諾言的唯一可能性是使孩子返回。 在這種情況下,母親會預言鱷魚會做什麼。

Raymond Smullyan在他的《 LesÉnigmesdeShéhérazade》一書中將這種情況稱為“強制邏輯”。 他在“大問題”一章中給出的例子完全符合鱷魚悖論的情況。

如果父母猜測孩子將被遣返,則該交易在邏輯上是平穩的,但無法預測,但是如果父母猜測孩子將不會被遣返,則鱷魚會陷入困境。 在鱷魚決定保留孩子的情況下,他違反了他的條款:父母的預言已經過驗證,應將孩子送回。 但是,在鱷魚決定將孩子還給孩子的情況下,即使該決定是基於先前的結果,他仍然違反了他的條款:父母的預言被偽造了,孩子不應被遣返。 因此,鱷魚應該做什麼的問題是自相矛盾的,沒有合理的解決方案。

鱷魚的困境揭示了元知識提出的一些邏輯問題。 在這方面,它的結構類似於意想不到的懸掛式悖論,理查德·蒙塔古(Richard Montague,1960)曾使用該悖論來證明以下有關知識的假設在組合測試時是不一致的:

(i)如果已知ρ為真,則ρ。

(ii)已知(i)。

(iii)如果ρ表示σ,並且已知ρ為真,則σ也為真。

古希臘的資料來源是第一個討論鱷魚困境的人。

類型
還有其他變體,例如“被判處死刑的先知擁有國王的預言,並根據其是否實現改變執行方法。”

在劇集《 Nisaburo Furuhata》的第13集“袋鼠笑”中,一隻獅子出現在冒險家面前,並問了與上面鱷魚相同的問題,並作為故事出現在酒吧。

小說《唐吉x德》中的西班牙,諮詢如下,如將以下原始Sancho Panza引入了微型計算機。 “要過橋,您必須報告其目的,如果這是謊言,您將被絞死。 一個人說:“我被絞死了。 我來了。 ‘

另一方面,桑喬·潘薩(Sancho Panza)說他應該過去。 理由是“丈夫總是告訴我,如果有疑問,我應該仁慈。”

措辭
鱷魚從站在河岸上的埃及女子手中搶走了她的孩子。 鱷魚像往常一樣流下了鱷魚的眼淚,使孩子回到了她的懇求中,回答道:

“你的不幸使我感動,我會給你一個讓你的孩子回來的機會。” 猜猜我是否願意給你。 如果您回答正確,我將把孩子送還。 如果您不猜,我不會放棄。

想著,母親回答:

“你不會給我嬰兒的。”

鱷魚總結道:“你不會得到它的。” “你說的是事實還是不事實。” 如果我不會放棄孩子的事實是真實的,那麼我不會將它還給別人,因為否則它將不是真實的。 如果說的話不對,那麼您就沒有猜到,我也不會同意放棄孩子。

但是,母親沒有發現以下理由令人信服:

“但是,如果我說實話,那麼您會按照我們的約定給我孩子。” 如果我不認為您不會放棄孩子,那麼您應該把它交給我,否則我說的話不會是錯誤的。

誰是對的:母親還是鱷魚? 鱷魚向他們保證什麼? 放棄孩子,或者相反,不放棄他? 並且與此同時。 這個承諾在內部是矛盾的,因此不可能依靠邏輯定律來實現。

另一種措辭
傳教士發現自己在食人者中,正好趕赴晚餐。 他們允許他選擇他將被吃掉的形式。 為此,他必須說出一條語句,條件是,如果該語句為真,則將其焊接起來;如果結果為假,則將其炸掉。

應該對傳教士說些什麼?

他必須說:“你會炒我的。” 如果真的炸了,事實證明他表達了真相,因此必須將其煮熟。 如果是煮熟的,他的陳述將是虛假的,應予以油炸。 食人族別無選擇:從“炸”到“煮”,反之亦然。

分類
悖論 邏輯

法院悖論

法院的悖論,也稱為Euathlus的對立困境,是起源於古希臘的悖論。 據說,著名的詭辯家Protagoras接受了一名學生Euathlus,條件是該學生在贏得第一個法院案件後向Protagoras支付了他的指示。 經指示,Euathlus決定不進入法律界,而Protagoras決定以所欠金額起訴Euathlus。

Protagoras辯稱,如果他勝訴,他將獲得酬金。 如果Euathlus勝訴,Protagoras仍將按照原始合同付款,因為Euathlus會勝訴。 然而,Euathlus聲稱,如果他獲勝,那麼根據法院的裁決,他將不必支付Protagoras。 另一方面,如果Protagoras勝訴,那麼Euathlus仍然不會勝訴,因此沒有義務付款。 問題是,這兩個男人中的哪個是正確的?

這個故事與拉丁作家Aulus Gellius在《閣樓之夜》中有關。

分析
從道德的角度來看,由於局勢的模棱兩可,可以說雙方都是正確的,或者沒有一方是正確的。 但是,根據法律,如果法院判決贊成Protágoras,則他與他的學生之間的原始合同條件將無效,Evatlo必須向Protágoras支付費用。 相反,如果Evatlo是獲勝者,那麼法院也可以取消其付款義務。

從客觀的角度來看,法院作出判決的方式也不是悖論。 法院可以判定Evatlo(作為被告)違反了合同條款或沒有違反合同條款。 隨後的提請不會對法院的判決產生法律後果。

在某些情況下,如果被告人得到法院的青睞,也將受到保護,免受與審判行為有關的付款。 實際上,法院可以命令作為敗訴原告的Protágoras向Evatlo支付他勝訴所需的費用。 在這種情況下,Evatlo將向Protágoras支付費用,並且這筆款項將通過法院命令退還。 原始合同將已經履行,Evatlo將沒有額外義務支付對Protágoras的指示。 Protágoras的結果是,它將敗訴,並根據原始合同收到付款,然後必須為失敗的索賠支付訴訟方的損失(在這種情況下,等於或大於原告的損失)。 Evatlo的教育費用)

此外,Evatlo可以聘請律師來負責此案,從而使本案作為付款示例無效。

根據軼事,Euathlos很窮,無法負擔Protagoras的教訓。 後者在達成以下協議後接受了他作為門徒:

Euathlos一經獲勝,將退還所學到的經驗教訓。
在他的學業結束後,Eualthos拒絕既作為律師辯護又拒絕支付Protagoras。 沒有懇求,他就無法贏得任何審判。 由於沒有贏得訴訟,他不必償還其主人的費用。 然後,Protagoras在法庭上襲擊了他,以強迫他的學生辯護。

Protagoras的推理如下:

如果Eualthos贏得訴訟,他必須償還其主人的費用,因為這是他們達成協議的條件。
如果Eualthos敗訴,他必須補償其主人,因為正義迫使他這樣做。

因此,無論試驗結果如何,Protagoras都將獲得補償。 根據與Eualthos達成的協議或法院的裁決。 悖論干預了門徒的反應。 據他說,他將沒有任何報銷。 無論審判結果如何,他都不會付款。

他對門徒的推理如下:

如果他勝訴,他就不能償還他的主人,因為正義已經赦免了他。
如果他的審判失敗,則他的課程將無效,因此不得償還其主人的費用。

最終,我們應該如何判斷這種衝突?

也許要注意判斷,我們必須首先等待審判的結果,因為正是這個結果決定了誰是錯誤的,誰是正確的。 這帶來了兩種可能性:

因此,只要等到審判結束就可以繼續進行就足夠了。 同時,毫無疑問Euathlos將參與另一項更重要的審判……
駁回Protagoras,因為他的審判是沒有根據的:Euathlos的第一次審判的結果尚不為人所知,Protagoras無法斷言Euathlos已經欠他一些東西,這違反了協議。 為了消除悖論,法官必須首先同意Euathlos。 然後,Protagoras可以開始另一個審判。

實際上,通過兩個獨立的法律規範(合同法和兩黨之間的初步協議)之間的博弈,法官發現自己處於這樣一種情況下,即他必須宣布的結果始終與他必須的結果相反:將Protagoras指定為勝利者,他必須將他視為失敗者(反之亦然)。 這是一個典型的騙子式的自我指稱悖論,但必須考慮到時間維度(例如在祖父悖論中,一個能夠及時旅行的人在出生前就殺死了他的父母)。

另一種理論
另一種查看此情況的方法如下:

自從Protágoras起訴他以來,Evatlo將會贏得他的案子,因為Evatlo贏得了他的第一個案子。 由於Evatlo尚未勝訴,因此Protágoras將敗訴,因此Protágoras的訴因尚未顯現。

Evatlo的新勝利將被視為對Protágoras的新考驗,這就是進行新審判的原因。

可以批評的是,儘管這代表了一種切實可行的解決方案,但卻不能解決邏輯悖論。 但是,這可以通過在邏輯上確定一個永恆狀態的關鍵假設來挑戰。

該解決方案之所以有效,是因為它記錄了永恆狀態的假設,也就是說,描述始終適用。 如果這種假設是錯誤的,則法院在不知道審判結果的情況下做出了決定(或在案件開始後但在案件結束後的任何時候都排除了證據),則可以解決,因為當時學生還沒有勝訴。 法院可以裁定它沒有贏,因此它不必無矛盾地付款。 對Protágoras的新需求也不矛盾。 在第二起訴訟中,學生的身份發生了變化:他現在贏得了一個案件。 第二項索賠不包括第一項索賠的結果,因為它在第二項審判之前,並且法院可以自由決定贊成Protágoras。 如果我們假設一個永恆的國家,那麼法院將必須知道該生一生都將參加的所有案件,包括過去和將來。 在這種情況下,對於一個不現實的假設將會產生矛盾。 因此,學生可以贏得第一個案子,但輸掉第二個案子,因為它發生在他一生的不同時期。