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悖論 邏輯

皮諾奇悖論

當木偶奇遇記說“我的鼻子現在長大了”時,木偶奇遇記就出現了,是騙子悖論的一種形式。騙子悖論在哲學和邏輯上被定義為“這句話是錯誤的”陳述。將經典的二進制真值賦給該語句的任何嘗試都會導致矛盾或悖論。發生這種情況的原因是,如果語句“此句子為假”為真,則為假;否則為假。從技術上講,這將意味著它是正確的,但也將是錯誤的,以此類推。儘管皮諾奇悖論屬於騙子悖論傳統,但由於它沒有語義謂詞,因此是一種特殊情況,例如“我的句子是錯誤的”。

皮諾奇奧悖論與皮諾奇奧是眾所周知的騙子無關。如果皮諾奇奧說“我生病了”,這可能是正確的也可能是錯誤的,但是皮諾奇奧的句子“我的鼻子現在長大了”既不能是正確的,也可以是錯誤的。因此,只有這句話造就了皮諾曹(騙子)悖論。

歷史
皮諾曹是意大利作家卡洛·科洛迪(Carlo Collodi)1883年兒童小說《皮諾曹歷險記》的主人公。皮諾奇(Pinocchio)是個動畫木偶,他講的每一個謊言都會因鼻子的進一步長大而受到懲罰。匹諾曹的鼻子長度沒有限制。它隨著他撒謊而增長,並且在某一時刻增長得如此之長,以至於他甚至無法通過“房間的門”來抓住自己的鼻子。

皮諾奇悖論是由11歲的Veronique Eldridge-Smith在2001年2月提出的。Veronique是Peter Eldridge-Smith的女兒,Peter Eldridge-Smith專門研究邏輯和邏輯哲學。彼得·艾德里奇·史密斯(Peter Eldridge-Smith)向維羅尼克(Veronique)和維羅尼克(Veronique)的哥哥解釋了說謊者悖論,並要求孩子們提出自己的著名悖論。幾分鐘後,Veronique建議:“木偶奇遇記說,’我的鼻子會長大’。” 埃爾德里奇·史密斯(Eldridge-Smith)喜歡女兒提出的悖論,並寫了一篇有關該主題的文章。該文章發表在《分析》雜誌上,皮諾奇悖論在互聯網上得到了普及。

悖論
Veronique提出的悖論是“我的鼻子現在長大”,或者以將來時態表示:“將要長大”,為不同的解釋留出了余地。在這本小說中,皮諾曹的鼻子隨著他的躺著而繼續增長:“當他說話時,他的鼻子雖然長了至少兩英寸。” 因此,邏輯學家質疑:“匹諾曹”只會說“我的鼻子會長”這句話嗎?是在他說“我的鼻子會長”之前是在撒謊嗎?還是他會說謊?他的鼻子開始成長?

相同句子“我的鼻子現在正在增長”或“我的鼻子正在增長”的現在時態似乎提供了產生說謊者悖論的更好機會。

句子“我的鼻子長大”可以是對也可以是錯。

假設句子:“我的鼻子現在長大”是對的:

這意味著匹諾曹的鼻子現在長大了,因為他如實說是那樣,但是
皮諾奇的鼻子現在不再增長,因為根據小說,它只有在皮諾奇說謊時才會增長,但隨後
Pinocchio的鼻子現在長大了,因為Pinocchio的鼻子現在不長了,Pinocchio信任地說它現在長了,這是錯誤的,這使得Pinocchio的句子是錯誤的,但是隨後
Pinocchio的鼻子現在不長,因為Pinocchio的鼻子現在長了,Pinocchio信任地說它現在長了,這確實使Pinocchio的句子正確,但是
以此類推。

假設句子:“我的鼻子現在長大”是錯誤的:

這意味著Pinocchio的鼻子現在不會長大,因為他錯誤地說是這樣,但隨後
皮諾奇的鼻子現在長大了,因為根據小說,它只有在皮諾奇說謊時才會長大,但是
Pinocchio的鼻子現在不長,因為Pinocchio的鼻子現在長了,Pinocchio錯誤地說它現在就長了,這是錯誤的,使Pinocchio的句子是正確的,但隨後
匹諾曹的鼻子現在長大了,因為匹諾曹的鼻子現在不長了,而匹諾曹錯誤地說它現在長了,這的確是事實,這使匹諾曹的句子是錯誤的,但是隨後
以此類推。

正如埃爾德里奇·史密斯(Eldridge-Smith)所說,只是為了變得更容易,“匹諾曹的鼻子如果並且只有在不成長的情況下才在增長”,這使皮諾奇奧的句子成為了“騙子的變種”。

Eldridge-Smith認為,由於短語“不是真的”和“正在增長”不是同義詞,因此Pinocchio悖論不是語義悖論:

皮諾曹悖論在某種程度上是對騙子的解決方案的反例,該解決方案會將語義謂詞從對象語言中排除,因為“正在增長”不是語義謂詞。

埃爾德里奇·史密斯(Eldridge-Smith)相信阿爾弗雷德·塔斯基(Alfred Tarski)的理論,在該理論中,他認為應將騙子悖論診斷為僅在“語義上封閉”的語言中出現。通過這種方式,他的意思是一種語言,在該語言中,一個句子可能用相同的語言斷定一個句子的真實性(或虛假性)時,不應將其應用於Pinocchio悖論:

對於任何嚴格或自由的元語言-層次解決方案,皮諾曹悖論提出了一個純粹的邏輯問題。在我們的世界中不會出現木偶奇遇記的情況,因此這不是一個務實的問題。似乎在邏輯上可能存在一個世界,在這個世界上,皮諾奇奧的鼻子會在且只有當他說出不正確的話時才會鼻子增大。但是,不可能有一個邏輯上可能的世界,在這個世界中他做出“我的鼻子在增長”的說法。元語言層次方法無法基於塔斯基(Tarski)的分析來解釋這一點,因此無法解決皮諾奇(Pinocchio)悖論,它是騙子的一種。

埃爾德里奇-史密斯(Eldridge-Smith)在他的下一篇文章“匹諾曹反對辯證主義者”中說:“如果皮諾曹的鼻子長大而不長大,這真是一個矛盾,那麼從形而上來說,這樣的世界是不可能的,而不僅僅是語義上的不可能。” 然後,他提醒讀者,當蘇格拉底(在Buridan的橋上)問他是否可以過橋時,柏拉圖回答說,他只有在“如果你首先說出你說出真相的情況下,才可以過橋”。你講錯話,我會把你扔進水里。” 蘇格拉底回答說:“你要把我扔進水里。” 蘇格拉底的反應是一種詭計,使柏拉圖陷入困境。他不能把蘇格拉底扔進水里,因為這樣做柏拉圖會違反他許諾如果蘇格拉底說出真相就讓他從橋上穿過的承諾。另一方面,如果柏拉圖允許蘇格拉底過橋,那意味著蘇格拉底在回答“你要把我扔進水里”時說了一個不誠實,因此他應該被扔進水中。 。換句話說,蘇格拉底只有當他不能時才可以過橋。

解決方案

將來時
威廉·F·瓦利切拉(William F. Vallicella)承認自己尚未閱讀《分析》(Analysis)上發表的文章,但表示在句子“我的鼻子現在會長”或“現在”的現在時態中,他看不到任何矛盾之處。我的鼻子現在長大了。”

Vallicella認為,將來時態句子不能產生說謊者悖論,因為該句子永遠不能被視為虛假。他用這個例子解釋了自己的觀點:“假設我預測明天早上6點,我的血壓將為125/75,但我的預測卻是錯誤的:第二天早晨我的血壓是135/85。聽到我的預測可能聲稱我說謊,即使我打算欺騙聽眾也撒謊,因為儘管我(實際上是)作出了欺騙意圖的虛假陳述,但我無法確切知道第二天我的血壓會是多少。” 同樣的解釋可以用來解釋木偶奇遇記的句子。即使他的鼻子會長大的預測被證明是錯誤的,也無法聲稱他撒了謊。

如果匹諾曹說“我的鼻子現在長大了”,那麼他要么撒謊要么不撒謊。如果他在撒謊,那麼他在作虛假陳述,這意味著他的鼻子現在不再長大。如果他沒有撒謊,那麼他的陳述是對還是錯,這意味著要么他的鼻子現在長大,要么鼻子現在不長大。因此,要么他的鼻子現在不長,要么鼻子現在就長。但這完全沒有問題。

但是,瓦利切拉的論點可以通過以下方式受到批評:與皮諾曹不同,瓦利切拉的血壓並不能反映他自己陳述的準確性。但是,皮諾奇奧在觀察到他的鼻子只有在他躺著的時候才會長大,因此他會做出歸納推理的陳述,根據他過去的經驗,他認為這是真的。

但是,對瓦利切拉的論點的批評也可以受到挑戰。根據皮諾奇奧自己對何時以及為何鼻子長大的本質的推測,如果皮諾奇奧指的是他事先說過的謊言,那麼“我的鼻子現在長”就只能是“歸納推理”。對皮諾曹來說,“我的鼻子現在長大”是一個陳述,僅表示他之前所說的一切都是謊言,因此,由於那個謊言,他的鼻子現在可能會長大。在這種情況下,“我的鼻子現在長大”的說法是一種預測或“受過教育的”猜測,其本質上不能解釋為謊言。因此,他的鼻子現在是否長大完全取決於他在“我的鼻子現在長大”之前所說的話。

運用常識
與許多悖論一樣,應用現實世界的邏輯,單詞或短語的常見含義或對悖論周圍情況的了解,可以提供避免該問題的解決方案。對於這一悖論,可以簡單地提出,皮諾奇奧的鼻子只有在故意不誠實的時候才會長大,因為皮諾奇奧的性質的目的是作為性格的一堂課。例如,匹諾曹的鼻子特性不能用來確定科學理論的有效性,也不能通過讓他提出諸如“隕石將於2022年墜落到地球上”之類的說法來預測未來。由於沒有解決這個悖論的方法,因此他不能故意對結果撒謊。皮諾奇的鼻子不會長大。

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騙子悖論

在哲學和邏輯上,經典的說謊者悖論或說謊者的悖論或說謊者的對立性是對說謊者說謊的陳述:例如,宣稱“我在說謊”。如果撒謊者確實在撒謊,那麼撒謊者就是在說真話,這意味著撒謊者只是在撒謊。在“這句話是一個謊言”中,悖論得到了加強,以使其能夠進行更嚴格的邏輯分析。儘管準確地說是從說謊者的陳述中抽像出來的,但它仍然通常被稱為“說謊者悖論”。試圖賦予這種說法,加強的騙子,一個經典的二進制真值導致矛盾。

通常,儘管“騙子的悖論”是由騙子本人精確進行的,但通常會更多地使用該術語。在試圖將二元真值歸屬於強化的騙子的陳述時,出現了矛盾。

如果“此句子為假”為真,則為假,但該句子指出其為假,如果為假,則必須為真,依此類推。

為了防止某條語句引用其自身的邏輯值,還可以按照以下方式構造悖論,稱為增強的說謊悖論:以下語句為true。上一條語句為false。

歷史
有人提出將Epimenides悖論(約在公元前600年)作為說謊者悖論的一個例子,但它們在邏輯上並不等效。據報導,半神話般的先知Epimenides是克里特島人,他說:“所有克里特人都是騙子。” 但是,埃皮梅尼德斯(Epimenides)關於所有克里特人都是撒謊者的說法可以被認為是虛假的,因為他知道至少還有一個沒有撒謊的克里特人。正是為了避免人為因素和模糊概念帶來的不確定性,現代邏輯學家提出了“強化”的騙子,例如“這句話是錯誤的”。

悖論的名稱在古希臘語中翻譯為pseudómenoslógos(ψευδόμενοςλόγος)。說謊者悖論的一種說法是生活在公元前4世紀的希臘哲學家米利都(Miletus)的Eubulides。據說Eubulides問:“一個人說他在撒謊。他說的是對還是錯?”

圣杰羅姆曾經在佈道中討論過這種悖論:

“我驚慌地說,每個人都是騙子!” 大衛是在說實話還是在說謊?如果每個人都是騙子是真的,而大衛說“每個人都是騙子”是真的,那麼大衛也是在撒謊。他也是一個男人。但是,如果他也撒謊,那麼他說“每個人都是騙子”的說法就不正確。無論您採用哪種方法,結論都是矛盾的。由於大衛本人是個男人,因此他也在撒謊。但是如果他因為每個人都是騙子而撒謊,那他的撒謊是另一種情況。

印度的文法哲學家巴特里(Bhartrhari,公元5世紀晚期)充分意識到了一個騙子悖論,他將其描述為“我所說的一切都是假的”(sarvammithyābravīmi)。他分析了這種陳述以及“不可定義性”的悖論,並探討了在日常生活中沒有問題的陳述與悖論之間的界限。

從9世紀末開始,至少在五個世紀以前,伊斯蘭早期的騙術悖論一直在討論中,而且顯然不受任何其他傳統的影響。Naṣīral-Dīnal-Ṭūsī可能是第一個將說謊者悖論確定為自我指稱的邏輯學家。

說明和變體
說謊者悖論的問題在於,這似乎表明,關於真理和虛假性的共同信念實際上導致了矛盾。即使句子完全符合語法和語義規則,也可以構造不能始終如一地分配真值的句子。

悖論的最簡單形式是:

答:這個陳述(A)是錯誤的。

如果(A)為true,則“此語句為false”為true。因此,(A)必須為假。(A)為真的假設得出結論,即(A)為假,這是一個矛盾。

如果(A)為假,則“此語句為假”為假。因此,(A)必須為真。(A)為假的假設導致得出結論(A)為真,這是另一個矛盾。不管哪種方式,(A)都是對還是錯,這是一個悖論。

但是,如果說謊者的句子是假的,那麼說謊者的句子就可以被證明是正確的;如果事實是假的,則可以證明它是錯誤的。對悖論的這種回應實際上是拒絕了每項陳述必須為真或為假的主張,也被稱為“雙價原則”,即與被排除中間律有關的概念。

關於陳述既非真非假的提議引起了以下悖論的強化版本:

這個說法是不正確的。(B)

如果(B)既不是真也不是假,則它一定不是真。由於這是(B)本身所聲明的,因此意味著(B)必須為真。由於最初的(B)不正確,現在又是正確的,因此出現了另一個悖論。

正如格雷厄姆·普里斯特(Graham Priest)所言,對(A)悖論的另一種反應是認為該陳述是對也是錯。但是,即使是Priest的分析也容易受到以下騙子的影響:

這句話是假的。(C)

如果(C)為真和假,則(C)僅為假。但是,那是不正確的。由於最初(C)是正確的,而現在不是真實的,所以這是一個悖論。但是,有人認為,通過採用二值關係語義(與功能語義相反),辯證法可以克服這種騙子的形式。

騙子悖論也有多句版本。以下是兩句版本:

以下陳述是正確的。(D1)
前面的陳述是錯誤的。(D2)

假設(D1)為真。那麼(D2)為真。這意味著(D1)為假。因此,(D1)是對還是錯。

假設(D1)為假。那麼(D2)為假。這意味著(D1)為真。因此,(D1)是對還是錯。不管哪種方式,(D1)都是對與否–與上述(A)相同。

騙子悖論的多句版本可概括為此類陳述的任何循環序列(其中最後一條陳述斷言第一條陳述的真實/虛假),前提是存在奇數個斷言其後繼者虛假的陳述;以下是一個三句版本,每個語句都斷言了其後繼者的虛假性:

E2為假。(E1)
E3為假。(E2)
E1為假。(E3)

假設(E1)為真。那麼(E2)為假,這意味著(E3)為真,因此(E1)為假,從而導致矛盾。

假設(E1)為假。那麼(E2)為真,這意味著(E3)為假,因此(E1)為真。不管哪種方式,(E1)都是對與否–與(A)和(D1)相同。

還有許多其他變體,也可能有許多補充。在正常的句子構造中,補碼的最簡單形式是句子:

這句話是真的。(F)
如果假定F帶有一個真值,那麼它將帶來確定該值的對象的問題。但是,可以通過假設單個單詞“ true”具有真值來實現更簡單的版本。悖論的相似之處是假定單詞“ false”同樣具有真值,即它是假的。這揭示了悖論可以簡化為假設謬論的想法具有真實價值的心理行為,即謬論的想法是錯誤的:錯誤陳述的行為。因此,悖論的對稱形式為:

以下語句為假。(G1)
前面的陳述是錯誤的。(G2)

可能的解決方案

阿爾弗雷德·塔斯基
阿爾弗雷德·塔斯基(Alfred Tarski)診斷該悖論僅在“語義上封閉”的語言中出現,他的意思是一種語言,其中一個句子可能用同一語言(甚至是其本身)來斷言另一句話的真實性(或虛假性)。 )。為避免自相矛盾,在討論真值時必須預想各種語言的水平,每種語言只能預測較低語言的真(或假)。因此,當一個句子引用另一個句子的真實值時,它在語義上更高。被引用的句子是“目標語言”的一部分,而被引用的句子被視為相對於目標語言的“元語言”的一部分。“語言”中的句子是合法的 在語義層次結構中較高的句子是指“語言”層次結構中較低的句子,但反之則不然。這樣可以防止系統成為自我參照。

但是,該系統是不完整的。一個人希望能夠做出這樣的陳述,例如“對於層次結構中級別α的每條陳述,在級別α+ 1處有一條陳述斷言第一條陳述為假。” 這是關於Tarski定義的層次結構的真實,有意義的聲明,但它引用了層次結構中每個級別的語句,因此它必須位於層次結構的每個級別之上,因此在層次結構中是不可能的(儘管這個句子是可能的)。

亞瑟·普里爾
亞瑟·普里爾(Arthur Prior)斷言,騙子悖論沒有任何悖論。他的主張(他將之歸因於查爾斯·桑德斯·皮爾斯和約翰·伯里丹)是,每條陳述都隱含了對自己真理的斷言。因此,例如,語句“確實是2加2等於4”包含的信息不多於語句“ 2加2等於4”,因為短語“確實是……”始終隱含在該處。按照騙子悖論的自指精神,短語“確實是……”等同於“整個陳述都是正確的……”。

因此,以下兩個語句是等效的:

這句話是錯誤的。
此聲明為true,此聲明為false。
後者是形式“ A而非A”的簡單矛盾,因此是錯誤的。因此,沒有悖論,因為這種二合一騙子是虛假的主張不會導致矛盾。尤金·米爾斯(Eugene Mills)提出了類似的答案。

索爾·克里普克
索爾·克里普克(Saul Kripke)辯稱,一個句子是否具有反常性取決於偶然的事實。:6如果史密斯對瓊斯所說的唯一一句話是

瓊斯對我說的大多數話都是錯誤的。
瓊斯只說了關於史密斯的三件事:

史密斯是一個大人物。
史密斯對犯罪情有獨鍾。
史密斯對我說的一切都是真的。
如果史密斯確實是一個大支出國,但對犯罪並不軟弱,那麼史密斯關於瓊斯的言論和瓊斯關於史密斯的最後言論都是自相矛盾的。

Kripke以以下方式提出了一種解決方案。如果一條陳述的真實價值最終被束縛在有關世界的一些可評估事實中,則該陳述是“紮根的”。如果不是,則該聲明是“沒有根據的”。沒有根據的陳述沒有真實值。說謊者陳述和類似說謊者的陳述是沒有根據的,因此沒有真實價值。

喬恩·巴里斯(Jon Barwise)和約翰·埃特肯迪
喬恩·巴里斯(Jon Barwise)和約翰·埃特赫曼迪(John Etchemendy)提出,說謊者的句子(他們將其解釋為強化說謊者的代名詞)含糊不清。他們基於在“否認”與“否定”之間做出區分而得出這一結論。如果說謊者的意思是“這句話不是真的”,那就是在否認自己。如果它表示“此聲明不正確”,則表示它在否定自己。他們繼續根據情況語義論證,“否認說謊者”可以是真實的而沒有矛盾,而“否定說謊者”可以是錯誤的而沒有矛盾。他們在1987年出版的書中大量使用了缺乏充分依據的集合論。

辯證法
格雷厄姆·普里斯特(Graham Priest)和其他邏輯學家,包括JC Beall和Bradley Armour-Garb,都建議說謊者的句子應該被認為是真是假,這被認為是辯證法。辯證法是存在真正矛盾的觀點。唯物論提出了自己的問題。其中最主要的是,因為辯證法認識到說謊者悖論是一種內在矛盾,所以它必須拋棄長期以來公認的爆炸原理,該原理斷言任何主張都可以從矛盾中推論出來,除非辯證主義者願意接受。瑣碎主義–所有主張都是正確的觀點。由於瑣碎主義是一種直覺上的錯誤觀點,因此唯美主義者幾乎總是拒絕爆炸原理。拒絕它的邏輯稱為超一致性。

非認知主義
安德魯·歐文(Andrew Irvine)主張採用一種非認知主義的方法來解決這一悖論,他認為某些看似形式正確的句子將證明既不是真是假,而且“僅憑形式標準就不可避免地證明不足以解決這一悖論”。

巴爾塔里的透視主義
印度的文法哲學家巴特里(Bhartrhari,公元5世紀後期)在他的巨著《瓦迦帕底亞》(Vākyapaddiya)的其中一章中,談到了諸如騙子之類的悖論。儘管他按時間順序先於對騙子悖論問題進行所有現代處理,但直到最近,那些無法閱讀原始梵文資料的人才有可能與現代邏輯學家和哲學家們面對他的觀點和分析,因為它們具有足夠可靠的版本和翻譯從20世紀下半葉開始,他的作品才開始出現。巴爾塔里(Bhartrhari)的解決方案適合於他對語言,思想和現實的一般方法,這種方法的特徵是“相對論”,“不置可否”或“透視”。

關於說謊者悖論(sarvammithyābhavāmi“我所說的一切都是錯誤的”),Bhartrhari指出了一個隱藏的參數,該參數可以將日常交流中無問題的情況轉變為頑固的悖論。可以根據朱利安·羅伯茨(Julian Roberts)在1992年提出的解決方案來理解巴特里(Bhartrhari)的解決方案。時間點不必在另一點……“奧斯丁式”論證的全部力量不僅在於“事物發生了變化”,而且理性本質上是暫時的,因為我們需要時間來調和和管理否則會發生什麼。成為相互破壞的狀態。”

根據羅伯特的建議,正是“時間”這一因素使我們能夠調和分開的“世界各部分”,在解決Barwise和Etchemendy的過程中起著至關重要的作用:188。這兩個“世界的一部分”在這裡位於“騙子”之外。但是,根據巴特里(Bhartrhari)的分析,時間的擴展將世界的兩個觀點或兩個“世界的一部分”(功能完成任務之前和之後的部分)分開,這是任何“功能”所固有的:還有表示每個語句(包括“騙子”)的基礎的功能。出現了無法解決的悖論,即我們存在矛盾(virodha)或無限回歸(anavasthā)的情況,

邏輯結構
為了更好地理解說謊者悖論,以更正式的方式寫下來很有用。如果用A表示“此陳述是錯誤的”,並且正在尋求其真值,則必須找到一個條件來限制對A可能的真值的選擇。由於A是自指的,因此可以給出條件由等式。

如果假定某條語句B為假,則寫“ B =假”。語句B為假的語句(C)將寫為“ C =’B =假’”。現在,騙子悖論可以表示為語句A,即A為假:

A =“ A =假”
這是一個方程,從中可以希望得到A =“此陳述為假”的真值。在布爾域中,“ A = false”等效於“ not A”,因此該方程不可解。這是重新解釋A的動機。使方程可解的最簡單邏輯方法是辯證法,在這種情況下,解決方案是A既是“真”又是“假”。其他解決方案主要包括對方程的一些修改。Arthur Prior聲稱等式應為“ A =’A =假且A =真’”,因此A為假。在計算動詞邏輯中,說謊者悖論擴展到諸如“我聽到他說的話;他說我沒聽到的話”之類的陳述,其中必須使用動詞邏輯來解決該悖論。

應用領域

哥德爾的第一個不完全性定理
哥德爾不完備性定理是數學邏輯的兩個基本定理,它們陳述了足夠強大的數學公理系統的固有局限性。該定理由庫特·哥德爾(KurtGödel)於1931年證明,在數學哲學中很重要。粗略地說,在證明第一個不完全性定理時,哥德爾使用了騙子悖論的修改版本,用“這句話是不可證明的”代替了“這句話是假的”,稱為“哥德爾句子G”。他的證明表明,對於任何足夠強大的理論,T都是正確的,但在T中無法證明。對G的事實和可證明性的分析是對說謊者句子的真實性進行形式化的分析。

為了證明第一個不完全性定理,Gödel用數字表示語句。然後,假設該理論可以證明有關數字的某些事實,也可以證明其自身陳述的事實。關於陳述可證明性的問題表示為關於數字性質的問題,如果該理論是完整的,則可以由該理論確定。用這些術語,哥德爾句子指出,不存在具有某種奇怪屬性的自然數。具有此屬性的數字將編碼該理論不一致的證明。如果有這樣一個數字,那麼與一致性假設相反,該理論將是不一致的。因此,假設理論是一致的,則沒有這樣的數字。

由於謂詞“ Q是錯誤公式的Gödel數”不能表示為算術公式,因此不可能在Gödel句子中將“ not provable”替換為“ false”。這個結果被稱為塔斯基不可定義定理,是由哥德爾(當時他正在研究不完全性定理的證明)和阿爾弗雷德·塔斯基分別發現的。

此後,喬治·布洛斯(George Boolos)畫出了第一個不完全性定理的另一種證明,該定理使用貝里的悖論而非說謊者的悖論來構造一個真實但無法證明的公式。

在流行文化中
說謊者悖論有時在小說中用於關閉人工智能,這些人工智能被認為無法處理該句子。在《星際迷航:原始人系列》第1集“ I,Mudd”中,柯克船長和哈里·穆德使用騙子悖論來混淆並最終使持有它們的機器人無法使用。在1973年的Who Who系列醫生的《綠色死​​亡》中,Doctor問“如果我要告訴你我說的第二句話是真實的,但我最後說的是謊言,你會撒謊嗎?”相信我?” 但是,BOSS最終認為問題無關緊要,並要求安全。

在2011年的視頻遊戲《傳送門2》中,GLaDOS試圖使用“這句話是錯誤的”悖論來擊敗幼稚的人工智能“惠特利”,但是,由於缺乏智能來實現這一陳述的悖論,他只是回答:“嗯,是的。會正確的。那很容易。” 儘管他周圍的法蘭克人確實起火併脫機,但他並沒有受到影響。

在《我的世界:故事模式》的第七集中,標題為“訪問被拒絕”,主角傑西和他的朋友被一台名為PAMA的超級計算機捕獲。在PAMA控制了Jesse的兩個朋友之後,Jesse得知PAMA在處理時停頓了,並使用悖論使他迷惑並與他的最後一個朋友逃脫。玩家可以說的悖論之一是說謊者悖論。

在道格拉斯·亞當斯(Douglas Adams)的《銀河系旅行者指南》第21章中,他描述了一個孤獨的老人,在空間坐標上居住著一個小行星,該行星原本應該是一個專門用於比羅(圓珠筆)生命形式的行星。這位老人一再聲稱沒有什麼是真的,儘管後來發現他在撒謊。

1994年,羅林斯樂隊(Rollins Band)1994年的歌曲《騙子》(Liar)暗示了這種悖論,因為敘述者說“我會一次又一次說謊,我會繼續說謊,我保證”,以此來結束這首歌。

羅伯特·厄爾·基恩(Robert Earl Keen)的歌曲《路在走來走去》暗示了這一悖論。人們普遍認為這首歌是基恩與托比·基思(Toby Keith)仇恨的一部分,後者大概是基恩所指的“騙子”。

分類
悖論 邏輯

知識者悖論

知識者悖論是屬於自我參照悖論家族的悖論(如說謊者悖論)。非正式地,它包括考慮一個說自己不知道的句子,並且顯然得出這樣一個矛盾,即既不知道又不知道該句子。

歷史
托馬斯·布拉德沃丁(Thomas Bradwardine)的《 Insolubilia》的第9章中已經出現了一種悖論。在現代討論自我指稱悖論之後,美國邏輯學家和哲學家戴維·卡普蘭(David Kaplan)和理查德·蒙塔古(Richard Montague)重新發現了自相矛盾的悖論(並以現名命名),現在被認為是該領域的一個重要悖論。 。該悖論與其他認識論悖論有聯繫,例如man子手悖論和可知性悖論。

公式
知識的概念似乎受知識為事實的原則支配:

(KF):如果句子“ P”是已知的,則P
(在這裡我們使用單引號來引用引號內的語言表達,而“已知”是“某個時候有人知道”的縮寫)。它似乎也受到證明產生知識的原則的支配:

(PK):如果句子“ P”被證明,那麼“ P”是已知的
但是請考慮以下句子:

(K):(K)未知
對於荒謬的還原假設(K)是已知的。然後,通過(KF),(K)是未知的,因此,通過荒謬的還原,(K)是未知的。現在,這個結論(即句子(K)本身)不依賴任何不遺餘力的假設,因此已被證明。因此,通過(PK),我們可以進一步得出結論:(K)是已知的。將這兩個結論放在一起,我們矛盾的是(K)既未知又未知。

解決方案
由於在給定對角線引理的情況下,每個足夠強大的理論都必須接受類似(K)的東西,所以只能通過拒絕知識的兩個原理(KF)和(PK)之一或拒絕經典的邏輯(即驗證從(KF)和(PK)到荒謬的推理)。第一種策略細分為多種選擇。一種方法是從阿爾弗雷德·塔斯基(Alfred Tarski)關於騙子悖論的工作中所熟悉的真理謂詞的層次中汲取靈感的,並構造了一個相似的知識謂詞層次結構。另一種方法是維護單個知識謂詞,但是卻自相矛盾,使人對(PK)的無限有效性或至少(KF)的知識存有疑問。第二種策略也細分為幾種選擇。一種方法拒絕了排除中間的定律,因此拒絕了荒謬的還原。另一種方法堅持荒謬的還原,因此接受這樣的結論,即(K)既未知又未知,從而拒絕了非矛盾定律。

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悖論 邏輯

克萊恩-羅瑟悖論

在數學中,Kleene-Rosser悖論是一個悖論,它表明某些形式邏輯系統是不一致的,特別是1930年引入的Curry組合邏輯版本和1932-1933年引入的Church原始lambda演算版本,兩者原本旨在形式邏輯系統。悖論由斯蒂芬·克萊恩(Stephen Kleene)和JB·羅瑟(JB Rosser)於1935年展出。

悖論
Kleene和Rosser能夠證明這兩個系統都能夠表徵和枚舉其可證明的總體,可定義的數論函數,這使他們能夠構建一個詞,該詞實質上以正式語言複製理查德悖論。

後來,咖哩設法確定了結石的關鍵成分,從而使這一悖論得以構建,並用它來構建一個更簡單的悖論,現在稱為咖哩悖論。

1935年,Kleene和Rosser發表了一個證明,即某種形式邏輯體係是不一致的,在某種意義上,可以用其符號表示的每個公式也都可以證明。碰巧的是,文獻中只有兩個適用這種不一致證明的系統。也就是1932-1933年的教堂系統,以及我在1934年所稱的八系統。但是,儘管應用範圍有限,但Kleene和Rosser的觀點仍然代表著一個定理,對於指導未來的研究非常重要。它是與Löwenheim,Skolem和Godel的著名不完全性定理相同的一般性定理,它們在最近的數學基礎研究中發揮了重要作用。

Kleene和Rosser的證明冗長而復雜,並包含一些複雜性,這些複雜性往往使它們定理的本質含義難以理解。因此,人們對使這個悖論更容易理解,並以一種使這種基本含義更加清晰地突出的方式提出來的問題產生了興趣。這就是本文試圖做的。從所指出的觀點來看,這裡提出的悖論是通過一種方法而得出的,該方法與原始發現者相比具有許多優點。

在我們進行詳細討論之前,最好先以模糊的初步方式檢查這一悖論,並以直觀的方式解釋其衍生的中心思想。

數學家為建立正式系統而努力的目標之一就是完整性-我所說的不是技術意義上的完整性,而僅僅是系統出於某種目的或其他目的的充分性。

有兩種這樣的完整性特別值得關注:它們都是形式邏輯數學系統的理想特性。這些組合完整性和演繹完整性。它們可以大致解釋如下。當且僅當由系統項和輔助不確定或變量x構成的每個表達式A都可以在系統內表示為x的函數時(即,我們可以在系統中形成其函數任何自變量的值都與將該自變量替換為W中的x的結果相同)。如果只要我們能夠在另一個命題A成立的假設上推導一個命題B,那麼我們就可以在沒有假設的情況下推導一個表達該推論的第三個命題(例如A ^ B),那麼一個理論就已經完備。因此,組合完整性是與系統中術語(或公式)的可能構造有關的屬性;演繹完整性與可能的推導有關。演繹完整性是某些系統的眾所周知的屬性。而組合完整性只是在最近幾年才實現。

Kleene-Rosser定理的實質是表明這兩種完整性是不相容的,即,擁有這兩種完整性的任何系統都是不一致的。該論點本質上是對理查德悖論的改進。它表明,實際上,理查德悖論可以在系統內正式設置。

為了初步了解這一點,讓我們如下設置理查德悖論。在任何形式的算術系統中,自然數的可定義數字函數的數量都是可枚舉的;讓他們依次列舉

除了從直觀的角度來解釋這一悖論之外,讓我們考慮一下在既組合又演繹完備的系統的情況下會發生什麼。在這樣的系統中,如果一個函數是一個數值函數,即,如果它為所有數值參數提供數值(u),那麼該事實的形式陳述就可以在系統中得到證明,因為它是演繹完備的。借助於所有定理的遞歸枚舉,然後可以按順序有效地枚舉所有數值函數的集合。由於理論是組合完整的,因此我們可以在系統內定義功能 這顯然是一個數值函數,對此事實的證明將有效地告訴我們n的值,從而肯定會出現上述矛盾。

這粗略地顯示了悖論的性質。在我們進行正式發展之前,我將就當前證據及其與克萊因和羅瑟的關係的關係作一些評論。

在對丘奇和他的學生的調查中,假定的組合完整性被削弱了,因為它要求A實際包含x-從而不需要一種將常數表示為函數的裝置。演繹完整性的得分也有所下降。如Kleene和Rosser所表明的,這些並發症無法避免矛盾。但是它們的確增加了推導的長度和復雜性。如果目標是揭露悖論的中樞神經,則邏輯方法是對更簡單的情況進行證明,即從強烈意義上考慮組合(和演繹)完整性的證明,然後說明對為更複雜的情況進行證明。

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希爾伯特-伯納斯悖論

希爾伯特-伯納斯悖論是一種獨特的悖論,屬於參照悖論家族(如貝里的悖論)。它以David Hilbert和Paul Bernays的名字命名。

歷史
悖論出現在希爾伯特和伯納伊斯的《數學基礎》中,並被他們用來表明足夠強大的一致理論不能包含其自己的參照函。儘管在20世紀的過程中幾乎沒有引起人們的注意,但是由於它所帶來的獨特困難,它最近被重新發現並受到讚賞。

公式
就像真理的語義屬性似乎受天真的模式支配一樣:

(T)當且僅當P時句子’P’為真
(在這裡我們使用單引號來引用引號內的語言表達式),引用的語義屬性似乎受幼稚模式的支配:

(R)如果存在a,則名稱“a”的所指與a相同
但是,考慮滿足以下條件的(自然)數的名稱h:

(H)h與“(h的指代)+1’相同
假設對於某個數字n:

(1)h的對象與n相同
那麼,肯定地,h的對象存在,(h的對象)+1也存在。通過(R),可以得出:

(2)’(h的被攝體)+1’的對象與(h的被攝體)+1相同
因此,根據(H)和相同性的不可區分原理,情況是:

(3)h的對象與(h的對象)+1相同
但是,由於相同性的不可區分性,(1)和(3)得出:

(4)h的對象與n +1相同
通過身份的及物性,(1)與(4)一起得出:

(5)n與n + 1相同
但是(5)是荒謬的,因為沒有數字與其後繼數字相同。

解決方案
由於每個足夠強大的理論都必須接受類似(H)的內容,因此只能通過拒絕樸素的引用(R)原理或拒絕經典的邏輯(可以驗證(R)和(H)荒唐)。在第一種方法上,通常任何關於說謊者悖論的說法都會順暢地過渡到希爾伯特-伯納斯悖論。相反,該悖論為追求第二種方法的許多解決方案帶來了獨特的困難:例如,拒絕拒絕中律(希爾伯特-貝納斯悖論未使用)的說謊者悖論的解決方案否認存在這樣的問題。 h的指代物;

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格靈-納爾遜悖論

Grelling-Nelson悖論是對立的,或者是語義上自指的悖論,涉及“異質的”一詞對自身的適用性,意味著“對自身不適用”。 它由Kurt Grelling和Leonard Nelson於1908年制定,有時被錯誤地歸因於德國哲學家和數學家Hermann Weyl。 因此,它有時被稱為韋爾悖論和格林靈悖論。 它與其他幾個著名的悖論密切相關,尤其是理髮師悖論和羅素悖論。

悖論
假設人們對形容詞“自變”和“異變”的解釋如下:

如果形容詞描述自己,則它是自動的(有時是同源的)。 例如,英語單詞“ English”是自動的,“ unhyphenated”和“ pentasyllabic”也是自動的。
如果形容詞沒有描述自身,則是異質的。 因此,“長”是異義詞(因為它不是長詞),“連字符”和“單音節”也是如此。

似乎所有形容詞都必須是自動的或異類的,因為每個形容詞要么描述自己,要么不描述自己。 但是,在許多情況下都會出現問題。

描述
Grelling和Nelson在形成對立時,假設每個類別都由代表單詞的特徵定義。 例如,單詞“單音節”表示所有單音節詞的類別的特徵。 然後,將單詞分為兩類,其定義如下:

自言詞本身俱有指定的特徵,而異體詞則沒有。 “德語”或“三音節”是自動的,因為“德語”是德語,“三音節”是三個音節。 但是,大多數單詞是異義單詞,例如“英語”和“單音節”,因為“英語”不是英文單詞,而“單音節”不是單音節單詞。

似乎每個單詞都可以毫無衝突地歸為這兩類之一,但是仔細觀察就會出現問題。

矛盾的情況
當我們考慮形容詞“異質的”時,便會出現Grelling-Nelson悖論。 有人會問:“異質的”是異質詞嗎? 如果答案為“否”,則“異質的”是自發的。 這導致了一個矛盾,因為在這種情況下,“異質的”並不能自我描述:它必須是一個異類詞。 但是,如果答案是“是”,則“異質的”是異質的。 這再次導致了矛盾,因為如果“異質的”一詞描述自己,那是自發的。

“異質”(heterological)是異質詞嗎?
否→“異質的”是自發的→“異質的”描述了自己→“異質的”是異質的,矛盾的
是→“異質的”是異質的→“異質的”不自我描述→“異質的”不是異質的,矛盾

通過略微修改“異質的”的定義以容納除“異質的”之外的所有非自發性詞,可以消除悖論,而無需更改先前定義明確的“異質的”的含義。 但是,“非自言自語的”受同樣的悖論之害,因此這種規避是不適用的,因為英語規則是由“自言自語的”唯一地確定其含義的。 對“自言自語”的定義進行類似的細微修改(例如聲明其為“非自律”及其同義詞的虛假)可能會糾正這一點,但對於“自律”和“異體”的同義詞(例如“自我描述”)仍然存在悖論”和“非自我描述”,其含義也需要調整,然後需要進行調整的後果,依此類推。 使英語擺脫Grelling-Nelson悖論,不僅要對“自言自語”和“異類”的定義進行完善,而要對語言進行更多的修改,甚至不必在語言中出現悖論。 這些英語障礙的範圍可與羅素基於集合的數學悖論的範圍相提並論。

任意案件
可能還會有人問“自閉症”是否是自發性的。 可以一致選擇以下任一形式:

如果我們說“自言自語”是自律性的,然後問它是否適用於自身,那麼是的,它確實適用,因此是自律性的;
如果我們說“自言自語”不是自發性的,然後問它是否適用於自身,則不行,它不會適用,因此也不是自發性的。

這與異質學的情況相反:雖然“異質的學”在邏輯上不能是自發的或異質的,但“自學的”可以是兩種。 (這不能同時是兩者,因為自動和異類的類別不能重疊。)

從邏輯上講,“自言自語”的情況是:

當且僅當“自動”是自動的時,“自動”才是自動的
A當且僅當A重言式

而“異質的”的情況是:

當且僅當“異質的”是自發的時,“異質的”才是異質的
一個當且僅當不是一個矛盾。

模棱兩可的情況
人們可能還會問“大聲”是自發的還是異源的。 如果大聲說,“大聲”是自動的; 否則,它是異質的。 這表明不能將某些形容詞明確地分為自發性或異質性。 Newhard試圖通過採用Grelling的悖論來專門解決單詞類型而不是單詞標記的問題來消除此問題。

解決方案
在對立方面,格靈和納爾遜通過可逆的獨特功能為每個班級分配名稱,從而將羅素的對立面轉移到語言層面; Russellian類別對應於異義詞類別{\ displaystyle H = \ {\ varphi(x)\ mid \ varphi(x)\ notin x \}}, 以便\ varphi(H)表示“異質的”一詞。 因此,Grelling-Nelson矛盾的解決方案與Russellian矛盾的解決方案完全平行:一個人可以證明該階級\,H,所有的異義詞不是一個集合,而是所謂的實類。

因此,Grelling-Nelson悖論具有以下邏輯結果:給定的雙射\ varphi,它指定了單詞類的名稱,不能在邏輯上實現。 在描述每種常用語言的字母上方有一組單詞,就無法形成為所有類命名的內部邏輯功能。 在這裡,實類仍然是無名的,因為它們不能是函數中的參數。 這意味著不符合對立語言要求。 因此,它是所謂的語義悖論之一,在這種語義悖論中,不允許將元語言學情況描繪到邏輯語言層面。 任何類的命名\ varphi即,僅是正確的,因為它是影響公式形成的元語言函數。 但是,如果您將Grelling-Nelson假設為模擬邏輯函數的{\ displaystyle \ varphi} \ varphi,那麼就不能證明它是雙射的,因為矛盾表明這種天真的前提是錯誤的。

在解決更常見的分支類型理論時,語法受到限制,因此語句\ x中的varphi(x)\ varphi(x)\ notin x在語法上不再正確,並且兩個單詞類別也不再形成和定義。 單詞類的類型比其元素(單詞)和函數的類型高\ varphi甚至比單詞類更高的類型。 因此是函數值\ varphi(x)不作為\, X,xauthorized。 因此,類型理論試圖通過引入語言級別來解決問題,因此需要復雜的語法來嚴格限制語言的可能性。 像拉塞爾的對數一樣,第一階段的謂詞邏輯中的公式足以解決問題,避免了這種努力,並允許使用所述公式; 在這裡,允許的結論足以證明Grelling-Nelson矛盾的要求是不一致的。

與羅素悖論的相似之處
可以通過以下方式將Grelling-Nelson悖論翻譯為Bertrand Russell著名的悖論。 首先,必須用形容詞適用的一組對象來識別每個形容詞。 因此,例如,形容詞“紅色”等於所有紅色對象的集合。 這樣,形容詞“可發音的”等同於所有可發音事物的集合,其中之一就是單詞“可發音的”本身。 因此,自言詞被理解為一個集合,其元素之一就是集合本身。 “異質的”一詞是否是異質性的問題變成了不包含自身的所有集合中的集合是否包含自身作為元素的問題。

娛樂語言學的重要性
由於它們的稀有性,因此很難找到自動詞,特別是如果排除了諸如“不可燃”之類的否定詞時。 除形容詞外,還提到名詞,動詞(“ end”,“ contain”,“ exist”),副詞(英語“ polysyllabally”多音節)和其他單詞(“ es”,“ here”),其中有自動名詞有兩個定義。 根據一個定義,如果一個名詞描述了它所具有的特徵,則認為該名詞是自動的,而如果另一個名詞描述了它的本質,則認為該名詞是自動的。 根據第一個定義,在第二個“三音節”(是三個音節)之後,“四個音節”(是四個音節)和“反義詞”(是反義詞,即同義詞)自動名詞的例子反義詞”(是反義詞)。 根據第二個定義,單詞“單語”(針對語言學)和“ oxymoron”被形成為自動語言。

廣義上的“丙氧酮”一詞是自動詞(在希臘語或其他語言中,倒數第二個音節強調該詞)。 “新詞”(新詞創造)曾經是一個自動詞,但如今已不再使用。 “ Protologism”(由Mikhail Epstein創造,因為它們尚未被廣泛使用,因此還沒有達到新邏輯的地位,因此被建議使用新詞)仍然是自動的,但是可能會失去這種地位。 “未完成”未完成,但未正確描述此屬性,因此不應被視為一個自體詞。 “ Quote”不是自動的,因為不是單詞“ quote”是引號,而是引號“” quote”。

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埃皮梅尼德斯悖論

Epimenides悖論揭示了邏輯中自我參照的問題。 它以克里特島哲學家克諾索斯的埃皮梅尼德斯(Epimenides)的名字命名(現存於公元前600年),他的原始說法被認為是正確的。 關於問題的典型描述在道格拉斯·霍夫施塔特(Douglas Hofstadter)的《哥德爾·埃舍爾·巴赫》一書中:

Epimenides是克里特島人,他做出了不朽的聲明:“所有克里特島人都是騙子。”

當人們考慮到Epimenides是否有可能說出真相時,就會出現自我指稱的悖論。

邏輯悖論
托馬斯·福勒(Thomas Fowler,1869年)提出瞭如下悖論:“埃皮米尼德斯·克里特人說,’所有克里特人都是撒謊者,”但Epimenides本身就是克里特人。 因此他本人是騙子。 但是,如果他是個騙子,他說的話是不正確的,因此,克里特島人是善良的; 但Epimenides是克里特島人,因此他說的是真的。 說克里特島人是騙子,埃皮門尼德斯本人就是騙子,他說的話是不正確的。 因此,我們可能會繼續證明Epimenides和Cretans是真實和不真實的。”

但是,可以解決這種形式的Epimenides悖論。 有兩個選項:它為true或false。 首先,假設它是正確的,但是後來作為克里特島的Epimenides會成為騙子,並且假設撒謊者只會做出錯誤的陳述,那麼陳述就是錯誤的。 因此,假設該陳述為真會使我們得出結論,該陳述為假。 這是一個矛盾,因此陳述式為真的選項是不可能的。 這留下了第二個選擇:它是假的。

如果我們假設該陳述是錯誤的,並且Epimenides謊稱所有克里特人都是撒謊者,那麼必須至少有一位誠實的克里特人。 這並不導致矛盾,因為不需要此克里特島為Epimenides。 這意味著Epimenides可以在知道至少一個誠實的Cretan並撒謊這個特定的Cretan的情況下說所有克里特人都是騙子。 因此,從該陳述為假的假設出發,並不能得出該陳述為真的結論。 因此,我們可以避免將“所有克里特人都是騙子”的陳述視為虛假陳述,這是由說謊的克里特島Epimenides提出的,這是一個悖論。 上面的托馬斯·福勒(Thomas Fowler)(和許多其他人)犯的錯誤是,認為“所有克里特人都是騙子”的否定是“所有克里特人都是誠實的”(一個悖論),而事實上,否定是“存在一個克里特人,是誰?誠實”或“並非所有克里特島人都是騙子”。

Epimenides悖論可以稍作修改,以免上述解決方案的出現,就像在Eubulides的第一個悖論中那樣,而是導致不可避免的自我矛盾。 Epimenides問題的悖論版本與一類更困難的邏輯問題密切相關,包括騙子悖論,Socratic悖論和Burali-Forti悖論,所有這些都具有Epimenides共同的自指點。 實際上,Epimenides悖論通常被歸類為騙子悖論的變體,有時兩者沒有區別。 對自我參照的研究導致了二十世紀邏輯和數學的重要發展。

換句話說,一旦意識到“所有克里特人都是騙子”是不真實的,這就不是悖論,而是意味著“並非所有克里特人都是騙子”,而不是假設“所有克里特人都是誠實的”。

也許更好,因為“所有克里特人都是撒謊者”是一個真實的陳述,並不意味著所有克里特人都必須一直撒謊。 實際上,克里特島人經常會說實話,但從撒謊者容易被欺騙以獲取不誠實收益的意義上說,仍然都是騙子。 考慮到“所有克里特人都是騙子”直到19世紀才被視為悖論,這似乎解決了所謂的悖論。 當然,如果“所有克里特人都是連續說謊者”實際上是正確的,那麼詢問克里特人是否誠實將始終引出不誠實的回答“是”。 因此可以說,最初的主張與其說是無效的,不如說是自相矛盾的。

對矛盾的上下文解讀也可能為悖論提供答案。 最初的短語是:“克里特島人,總是撒謊,邪惡的野獸,無聊的肚子!” 主張不是內在的悖論,而是主張從Epimenides來的克里特人的觀點。 對他的人民的陳規定型觀念並不是要對整個人民構成絕對的陳述。 相反,這是關於他們在宗教信仰和社會文化態度方面的立場的主張。 在他的詩歌上下文中,該短語特定於某種信仰,這是卡里馬丘斯在其關於宙斯的詩歌中重複的上下文。 進一步,對這個悖論的更嚴厲的回答只是,當說謊者是在陳述虛假,而陳述中沒有任何東西斷言所有所說的都是虛假的,而是“永遠”在撒謊。 這不是對事實的絕對陳述,因此我們不能斷言Epimenides對此陳述存在真正的矛盾。

短語的由來
Epimenides是一位公元前6世紀的哲學家和宗教先知,與克里特島的普遍看法相反,他提出宙斯是不朽的,如以下詩歌所示:

他們為你築了一座墳墓,哦,聖潔,高高的。
克里特人,總是撒謊,邪惡的野獸,懶散的肚子!
但是你還沒有死:你永遠活著,永遠安息,
因為在你裡面,我們生活,移動並擁有我們的存在。
— Epimenides,克里蒂卡

克里特人的謊言否認了宙斯的永生。

詩人Callimachus在他對宙斯的讚美詩中引用了“克里特人,總是撒謊”一詞,其神學意圖與《 Epimenides》相同:

宙斯(O Zeus),有人說你生於艾達山上。
宙斯(O Zeus)說,其他人在阿卡迪亞(Arcadia)說;
父親撒謊了這些或那些嗎? —“克里特人永遠都是騙子。”
耶和華阿,是的,墳墓是克里特人為你建造的。
但是你沒有死,因為你永遠。
—卡里馬丘斯,讚美詩我到宙斯

出現是邏輯矛盾
克里特人斷言所有克里特人一直都是撒謊者的邏輯上的矛盾可能對Epimenides或Callimachus都沒有發生過,他們倆都用這句話來強調自己的觀點,但並不具有諷刺意味,這也許意味著所有克里特人都是例行公事,但並非唯一。

在公元1世紀,保羅提到這句話的確是“他們自己的先知之一”所說的話。

克里特島自己的一位先知曾這樣說:“克里特人總是撒謊,邪惡的蠻族,無聊的肚子”。
他肯定說了實話。 出於這個原因,請嚴肅地糾正它們,以使它們聽起來像是信仰,而不是注意猶太人的寓言和對真理背棄的人的誡命。
—提多書,1:12-13

公元2世紀後期,亞歷山大·克萊門特(Clement of Alexandria)未能表明邏輯悖論的概念是一個問題:

使徒保羅在寫給提圖斯的書信中要警告提圖斯,克里特人不相信基督教的一個真理,因為“克里特人總是撒謊”。 為了證明他的主張是正確的,使徒保羅引用了Epimenides。
-基質1.14

在4世紀初,聖奧古斯丁在《反對院士們》(III.13.29)中重述了密切相關的騙子悖論,但沒有提及Epimenides。

在中世紀,以不便為標題研究了許多形式的說謊者悖論,但這些形式與Epimenides並沒有明確的聯繫。

最終,在1740年,皮埃爾·貝勒(Pierre Bayle)的《歷史詞典》(Dictionnaire Historique et Critique)第二卷明確將Epimenides與悖論聯繫起來,儘管貝勒(Bayle)將悖論標記為“自以為是”。

其他作者的參考
Epimenides的所有作品現在都已丟失,只能通過其他作者的引用才能知道。 Epimenides Cretica的語錄由RN Longenecker,“使徒行傳”,在《 Expositor聖經評論》第9卷,Frank E. Gaebelein,編輯(大瀑布城,密歇根州:Zondervan Corporation,1976–1984)中,第1頁476. Longenecker依次引用了MD Gibson的Horae Semiticae X(劍橋:劍橋大學出版社,1913年),第40頁,“敘利亞”。 Longenecker在腳註中指出以下內容:

錫爾。 絕版的版本來自錫爾。 教會的父親梅爾夫(可能是根據Mopsuestia的西奧多·西奧多(Theodore of Mopsuestia)的作品創作的)的父親Isho’dad,JR哈里斯將其翻譯回了Gr。 見Exp [“ The Expsitor”] 7(1907),第336頁。

在邏輯上下文中對Epimenides的傾斜引用出現在WE Johnson,Mind(新叢書),第1卷,第2期(1892年4月),第235-250頁的“邏輯演算”中。 約翰遜在腳註中寫道:

舉例來說,比較一下“表觀者是騙子”或“那表面是紅色”所提供的謬論場合,可以將其解析為“所有或某些表述者為假,”,“所有或某些表述都是錯誤的”。是紅色的。”

Epimenides悖論明確出現在“基於類型理論的數學邏輯”中,作者是Bertrand Russell,在《美國數學雜誌》,第30卷,第3期(1908年7月),第222-262頁,下面打開:

該類問題中最古老的矛盾是Epimenides。 Epimenides克里特島人說,所有克里特人都是騙子,克里特人的所有其他聲明當然都是謊言。 這是謊言嗎?

在那篇文章中,羅素將Epimenides悖論作為討論其他問題的出發點,其中包括Burali-Forti悖論和現在稱為羅素悖論的悖論。 自從羅素(Russell)起,在邏輯上反复提到了Epimenides悖論。 這些參考文獻中最典型的是道格拉斯·霍夫施塔特(Douglas Hofstadter)的哥德爾(Gödel),埃舍爾(Escher),巴赫(Bach),這使悖論在自我參考的討論中佔有重要地位。

評論
在開始之前,應該澄清的是,已經證明說謊者只會做出錯誤的陳述。 這個定義在邏輯研究中很常見,如果將其表述為“所有克里特人都是陳述總是錯誤的人”,那麼就可以以較少的歧義(但是也可以避免太多的複雜性)來獲得這種悖論。

遵循這個定義,乍一看,這種說法似乎是自相矛盾的,因為Epimenides聲稱自己是在撒謊(參見騙子悖論)。 這不是真的,因為即使該語句可能不正確,也可能是錯誤的。 如果我們假設這是真的,那麼Epimenides肯定像其他Cretan一樣在撒謊,因此這種肯定是錯誤的,並且會形成自相矛盾。 但是,如果我們假設它是錯誤的,那麼我們就不會產生矛盾,因為如果所有克里特人的謊言都是錯誤的,則意味著至少有一個克里特人(不一定是Epimenides)可以說出真相。 因此,該語句很可能為假,並且此語句不是真正的悖論。

這是一個錯誤的悖論,因為實際上它在第一個命題中就犯了謬論:所有克里特人都是騙子。 命題必須基於已證明的事實,而這並不是真正的已證明的事實,而是必須被證明是正確的不確定性。 您無法就未定的命題爭論不休。 您必須從一個事實開始。 而且我們確實知道Epimenides是Cretan(已證明事實)並且聲稱是(已證明事實),因此我們必須從這一方面開始推理:

Epimenides是克里特島
Epimenides說是
→Epimenides說實話。

從那裡您會得到:

所有克里特人總是撒謊
Epimenides是克里特島人,有時說實話
→那麼肯定所有克里特人總是撒謊是錯誤的

完成正確的姿勢:

並非所有克里特島人總是撒謊(事實證明)
Epimenides說是(主張)
→Epimenides的謊言(結論,已證明的事實)

因此,這種悖論可以再次提出:“如果Epimenides說謊,他就是騙子。” 但是,如果我們首先接受說謊者的定義,就像總是在說謊的人所說的那樣,那麼邏輯方法又再次打破了悖論:

Epimenides,作為一個克里特島人,自稱是騙子:總是撒謊的人。
我們知道Epimenides有時會說實話
→那麼Epimenides總是說謊是錯誤的

而且由於他是克里特人,所以所有克里特人總是撒謊是錯誤的。

總而言之,這種錯誤的悖論基於兩個謬誤:一個命題被認為是理所當然的事,而一個詞彙謬論則混淆了“騙子”和“總是說謊的人”的概念。 純粹地說,不能說某人“是”說謊者; 它不是本質,而是一種狀態。 像Epimenides一樣可以撒謊,但也可以說實話。 撒謊並不能使你總是說謊。 這就是為什麼在推理之前澄清定義很重要的原因:撒謊者是偶爾撒謊的人,還是撒謊者總是撒謊的人。 在第一種情況下,如果我們將“說謊者”定義為偶爾說謊的人,則悖論並非如此,而是一個帶有錯誤結論的謬論:

Epimenides是個騙子(有時他撒謊)
Epimenides是克里特島
→所有克里特島人都是騙子(偶爾撒謊)

不能從這些命題中得出結論。 目前尚不清楚所有克里特島人是否都是撒謊者。 已知只有Epimenides。


所有克里特島人都是騙子,我是克里特島,然後我撒謊。 因此,這句話說的是謊言,每增加一個語素,便要說謊。

價值觀念:

大家
騙子
克里特島。

Lie或Ni fu ni fa說,要弄清這個矛盾,就必須應用模糊邏輯,5建立起它說出真相的結論。

您想比較信息

公民=克里特人/所有“該除法結果為1”

所有公民都想計數,為此必須計算帳戶:

本類別
人(真實)
{
必須知道“個人=全部”(類別=本類別+公類別)
如果信息等於真理
確定個人是一個人=真理
如果信息等於謊言
確定個人是一個人=騙子
在任何其他情況下
空值對人
}
如果人(真相)是騙子,則
一個被添加到騙子類別
如果人(真相)是真相,那麼
一個被添加到真實帳戶
任何其他情況
ni fu ni fa類別中添加了一個
結束計數
現在,將“謊言計數”與每個人的價值進行比較。

如果它們相等,那麼所有克里特島人都是騙子。

此示例表明,每個人都是特定案例的騙子,而不是所有可能出現的案例的騙子。 如果假設它們適用於所有情況,則涉及一個悖論。 因此,除非對所有案例進行逐一檢查,否則該聲明僅適用於已處理的信息,而不適用於尚未處理的信息。 當假設絕對值時,這種悖論經常被用在真正的蘇格蘭人的謬誤中。

分類
悖論 邏輯

庫裡的悖論

庫裡的悖論是一種悖論,其中僅從句子C的存在就證明了任意主張F,而句子C本身說“如果C,則F”,只需要一些顯然無害的邏輯推導規則。 由於F是任意的,因此具有這些規則的任何邏輯都可以證明一切。 悖論可以用自然語言和各種邏輯表達,包括集合論,lambda微積分和組合邏輯的某些形式。

悖論以邏輯學家Haskell Curry命名。 由於它與洛伯定理的關係,它在馬丁·雨果·洛伯之後也被稱為洛伯悖論。

用自然語言
“如果是A,則是B”形式的聲明稱為有條件聲明。 庫裡悖論使用了一種特殊的自我指稱條件句,如以下示例所示:

如果這句話是正確的,那麼德國與中國接壤。

儘管德國沒有與中國接壤,但例句肯定是自然語言的句子,因此可以分析該句子的真實性。 悖論來自於此分析。 分析包括兩個步驟。

首先,可以使用常見的自然語言證明技術來證明例句是正確的。

其次,例句的真實性可以用來證明德國與中國接壤。 因為德國不與中國接壤,所以這表明其中一個證據有誤。

“德國與中國接壤”的主張可以用任何其他主張代替,並且該判決仍然可以證明。 因此,每個句子似乎都是可以證明的。 由於證明僅使用公認的推論方法,並且由於這些方法似乎都不正確,因此這種情況是自相矛盾的。

非正式證明
證明條件句子(句子形式為“如果A,那麼B”的標準方法)的標準方法稱為“條件證明”。 在該方法中,為了證明“如果A,則B”,首先假設A,然後在該假設下B被證明是正確的。

為了產生上述兩個步驟中描述的庫裡悖論,請將此方法應用於句子“如果該句子為真,則德國與中國接壤”。 這裡的A,“這句話是正確的”,是指整個句子,而B是“德國與中國接壤”。 因此,假設A與假設“如果A,則B”相同。 因此,在假設A中,我們同時假設了A和“如果A,則B”。 因此,根據慣用法,B是正確的,並且我們已經證明“如果這句話是正確的,那麼“德國與中國接壤”就是正確的。” 通常,通過假設和推論得出結論。

現在,由於我們已經證明“如果這句話是正確的,那麼’德國毗鄰中國’是正確的”,那麼我們就可以再次採用慣用語,因為我們知道“這句話是正確的”主張是正確的。 這樣,我們可以推斷出德國與中國接壤。

正式證明

句子邏輯
上一節中的示例使用了非形式化的自然語言推理。 庫裡悖論也出現在形式邏輯的某些變體中。 在這種情況下,它表明如果我們假設存在一個形式句子(X→Y),其中X本身等於(X→Y),那麼我們可以用形式證明來證明Y。 這種形式證明的一個例子如下。 有關本節中使用的邏輯符號的說明,請參閱邏輯符號列表。

X:=(X→Y)
假設,起點,等同於“如果此句子為真,則為Y”

X→X
身份定律

X→(X→Y)
因為X等於X→Y等於1,所以用2代替右邊

X→Y
從3起收縮

X
用1代替4

ÿ
從5和4通過modus ponens

另一種證明是通過皮爾斯定律。 如果X = X→Y,則(X→Y)→X。這與皮爾斯定律((X→Y)→X)→X和慣性法一起意味著X,然後是Y(如上述證明)。

因此,如果Y在形式系統中是不可證明的陳述,則該系統中沒有陳述X使得X等於蘊涵(X→Y)。 相比之下,上一節顯示了在自然(非形式化)語言中,對於每個自然語言陳述Y,都有一個自然語言陳述Z,使得Z等於自然語言中的(Z→Y)。 即,Z為“如果該句子為真,則為Y”。

在已知Y的分類的特定情況下,只需很少的步驟即可揭示矛盾之處。 例如,當Y為“德國與中國接壤”時,已知Y為假。

X =(X→Y)
假設

X =(X→假)
替代Y的已知值

X =(¬X∨錯誤)
意義

X =¬X
身份

天真的集合論
即使基本的數學邏輯不接受任何自我指稱的句子,某些形式的天真集理論仍然容易受到庫裡悖論的影響。 在允許無限制理解的集合理論中,我們仍然可以通過檢查集合來證明任何邏輯陳述Y

X = def {x ∣ x∈x→Y}。
假設ε優先於→和both,則證明按如下方式進行:

X = {x ∣ x∈x→Y}
X的定義

x = X→(x∈x↔X∈X)
成員相等集的替換

x = X→((x∈x→Y)↔(X∈X→Y))
在雙條件的兩側加一個結果(從2開始)

X∈X↔(X∈X→Y)
固結定律(從1和3開始)

X∈X→(X∈X→Y)
雙條件消除(從4開始)

X∈X→Y
收縮(從5起)

(X∈X→Y)→X∈X
雙條件消除(從4開始)

X∈X
方式(6和7)

ÿ
方式(8和6)

步驟4是一致集理論中唯一無效的步驟。 在Zermelo–Fraenkel集理論中,將需要一個額外的假設來說明X是一個集,這在ZF或其擴展ZFC(帶有選擇公理)中無法得到證明。

因此,在一致集合論中,對於假Y,不存在集合{x ∣ x∈x→Y}。這可以看作是羅素悖論的一種變體,但並不完全相同。 關於集合論的一些建議試圖解決羅素的悖論,不是通過限制理解規則,而是通過限制邏輯規則,以便它可以容忍所有非其自身集合的集合的矛盾性質。 像上面的證明這樣的證明的存在表明這樣的任務不是那麼簡單,因為上面證明中使用的至少一個推導規則必須被省略或限制。

λ演算
咖哩的悖論可以用無類型的Lambda演算來表達,並通過有限的最小邏輯來豐富。 為了應付lambda演算的句法限制,m表示包含兩個參數的蘊涵函數,即lambda項((m A)B)應等效於通常的中綴符號A→B。任意公式Z可以是通過定義λ函數N:=λp證明。 ((mp)Z)和X:=(YN),其中Y表示Curry的定點組合器。 然後,根據Y和N的定義,X =(NX)=((m X)Z),因此可以在演算中復制以上的句法邏輯證明:

X((m X)X)由最小邏輯公理A→A⊢((m X)((m X)Z)),因為X =((m X)Z)⊢((m X)Z)由極小邏輯⊢X的定理(A→(A→B))⊢(A→B),因為X =((m X)Z)⊢Z由模態A構成,(A→B)⊢B由X和(( m X)Z)

在簡單類型的lambda演算中,定點組合器無法鍵入,因此不被接受。

組合邏輯
庫裡悖論也可以表達為組合邏輯,其表達能力與λ演算具有同等的表達力。 任何lambda表達式都可以轉換為組合邏輯,因此在lambda微積分中對Curry悖論的實現進行翻譯就足夠了。

上述項X在組合邏輯中轉換為(rr),其中

r = S(S(K m)(SII))(KZ);
因此
(rr)=((m(rr))Z)。

討論區
Curry悖論可以用支持基本邏輯運算的任何語言來表達,這些語言還允許將自遞歸函數構造為表達式。 支持悖論建構的兩種機制是自我參照(從句子中引用“這個句子”的能力)和天真集合論中的不受限制的理解。 自然語言幾乎總是包含許多可用於構造悖論的功能,就像許多其他語言一樣。 通常,向語言添加元編程功能會添加所需的功能。 數學邏輯通常不支持顯式引用其自身的句子。 然而,哥德爾不完備性定理的核心是觀察到可以添加不同形式的自我參照。 參見哥德爾編號。

無限制理解的公理增加了在集合論中構造遞歸定義的能力。 這個公理不受現代集合論的支持。

證明的構造中使用的邏輯規則是條件證明的假設規則,收縮規則和慣用方式。 這些包含在最常見的邏輯系統中,例如一階邏輯。

一些形式邏輯的後果
在1930年代,Curry悖論和相關的Kleene-Rosser悖論在顯示基於自遞歸表達式的形式邏輯系統不一致方面起了主要作用。 這些包括lambda演算和組合邏輯的某些版本。

Curry從Kleene-Rosser悖論開始,推論核心問題可以用這個簡單的Curry悖論來表達。 他的結論可以說是說,組合邏輯和拉姆達演算不能作為演繹語言保持一致,而仍然允許遞歸。

在對有害(演繹)組合邏輯的研究中,庫裡(Curry)在1941年認識到這種悖論的含義是,它無限制地暗示了組合邏輯的以下特性是不兼容的:

組合完整性。 這意味著抽象運算符在系統中是可定義的(或原始的),這是對系統表示能力的要求。

演繹完整性。 這是對可導性的要求,即在具有實質性含義和慣用語形式的形式系統中,如果根據假設X證明Y,則也存在X→Y的證明。

術語
自然語言和數學邏輯都基於斷言某些陳述為真。 該語句可以表示為邏輯(或布爾)表達式(或公式),可以對其進行評估以得出true或false的值。 語句是一種語句或邏輯表達式,在被求值時將聲明其為真值。

也可以以更複雜的方式考慮示威。 陳述可以通過您主張或相信的陳述以及確定性的等級來限定。 但是,對於邏輯,上面給出的簡單定義就足夠了。

存在問題
這個悖論類似於,

騙子的悖論
羅素悖論
其中每個悖論都試圖給不存在的事物起一個名字。 這些悖論都試圖為方程的解給出名稱或表示,

X =¬X
請注意,悖論不是強制執行¬X語句而引起的,因為這樣的語句將是謊言。 它源於對聲明的審議和命名。 悖論是通過將¬X形式的表達式命名或表示為X來產生的。在Curry悖論的情況下,否定是由蘊涵構成的,

X = X→假=¬X∨假=¬X
布爾變量X的域是集合{true,false}。 但是,對上述方程式的解決方案都不為真或為假。 因此,宣稱X的存在一定是錯誤的,並且將¬X表達式命名為X是一個謊言。

矛盾的是,總是可以構造一個其值不存在的表達式。 這可以使用“ this statement”來實現,但是還有許多其他語言功能,這些功能允許構建不存在的表達。

表達矛盾的語言資源
可以用支持基本邏輯運算的任何語言來表達Curry的悖論,這也允許將自動遞歸函數構造為表達式。 下面的列表提供了一些支持悖論構造的機制,但是列表並不詳盡。

自我參考; “這個句子”。
通過包含名稱的表達式的命名法。
應用樸素集理論(不受限制的理解)。
Lambda表達式。
一個單詞中的一個Eval函數。

構建證據所使用的邏輯規則是:

假設規則
收縮
方式

然後可以使用自動遞歸函數來定義終止計算,該終止計算的值不是方程的解。 在庫裡悖論中,我們使用蘊涵來構造一個否定詞,該否定詞會建立一個沒有解的方程式。

然後,遞歸表達式表示一個不存在的值。 邏輯定律僅對{true,false}中的布爾值有效,因此對錶達式的任何保留都可能是錯誤的。

自然語言幾乎總是包含許多可用於構造悖論的資源,就像許多其他語言一樣。 通常,為一種語言添加元編程功能會添加必要的功能。

數學邏輯通常不容許明確引用其自身的句子。 但是,哥德爾不完備性定理的核心是觀察到可以添加自我參照。 參見哥德爾編號。

不受限制的理解公理增加了在集合論中構造遞歸定義的能力。 這個公理不受現代集合論的支持。

一些形式邏輯的後果
在1930年代,Curry悖論和相關的Kleene-Rosser悖論在表明基於自遞歸表達式的形式邏輯系統不一致方面發揮了重要作用。

λ演算
組合邏輯

Curry從Kleene-Rosser悖論開始,推論出中心問題可以用Curry的這個更簡單的悖論來表達,他的結論可以說是說組合邏輯和Lambda計算不能作為一種演繹語言連貫,允許遞歸。

在對錶示(演繹)組合邏輯的研究中,庫裡(Curry)在1941年認識到這種悖論的含義是,它無限制地暗示了組合邏輯的以下特性是不兼容的:

組合完整性。 這意味著抽象運算符在系統中是可定義的(或原始的),這是對系統表示能力的要求。
演繹完整性。 這是一個可推導性要求,即在具有內蘊和物質模態形式的形式系統中,如果從假設X可以推導Y,那麼也存在X→Y的證明。

解析度
本節未引用任何來源。 請通過在可靠來源中添加引文來幫助改進本節。 無法查證的內容可能被提出異議而移除。
查找來源:“ Curry的悖論” –新聞•報紙•書籍•學者•JSTOR(2019年8月)(了解如何以及何時刪除此模板消息)

本部分的事實準確性存在爭議。 相關討論可以在Talk:Curry的悖論上找到。 請幫助確保有爭議的陳述來源可靠。 (2019年8月)(了解如何以及何時刪除此模板消息)

請注意,與說謊者悖論或羅素悖論不同,庫裡的悖論並不取決於所使用的否定模型,因為它是完全無否定的。 因此,即使相矛盾的邏輯不受騙子悖論的影響,但仍然容易受到這種悖論的影響。

Lambda演算中沒有解析度
阿隆佐·丘奇(Alonzo Church)的lambda演算的起源可能是“如何解決方程式,以提供函數定義?”。 這是等效的,

fx = y⟺f =λxy

如果只有一個函數f滿足方程fx = y,則此定義有效,否則無效。 這是Stephen Cole Kleene和Haskell Curry通過組合邏輯和Lambda微積分發現的問題的核心。

情況可以與定義
y = x 2 x = y。

只要平方根僅允許正值,此定義就可以了。 在數學中,存在量化變量可以表示多個值,但一次只能表示一個。 存在量化是一個方程的許多實例的析取。 在每個方程式中,變量的一個值。

但是,在數學中,沒有自由變量的表達式必須只有一個值和一個值。 因此4只能表示+2。但是,沒有方便的方法將lambda抽象限制為一個值或確保有一個值。

Lambda演算可以通過傳遞與參數相同的函數來進行遞歸。 這允許fx = y對f有多個或沒有解的情況。

如果僅允許代表一個方程式的單個解的lambda抽象,則可以將Lambda微積分視為數學的一部分。 其他lambda抽像在數學上是不正確的。

咖哩的悖論和其他悖論在Lambda演算中出現,因為被認為是演繹系統的Lambda演算的不一致。 另請參見演繹λ演算。

Lambda演算領域

Lambda演算是其自身領域中的一致理論。 但是,將lambda抽象定義添加到通用數學中並不一致。 Lambda術語描述了Lambda演算域中的值。 每個lambda項在該域中都有一個值。

當將表達式從數學轉換為lambda演算時,lambda演算項的域並不總是與數學表達式的域同構。 這種同構的缺乏是明顯矛盾的根源。

不受限制的語言解析

有許多語言構造可隱式調用一個可能沒有解決方案或有很多解決方案的方程式。 解決此問題的合理方法是將這些表達式在語法上鍊接到一個存在的量化變量。 該變量以在普通人類推理中有意義的方式表示多個值,但在數學中也有效。

例如,允許Eval函數的自然語言在數學上不一致。 但是,用這種自然語言對Eval的每次調用都可以以一致的方式轉換為數學。 將Eval轉換為數學是

令x = x中的Eval。
因此,如果s =“評估→y”,

令x = x→y在x中。
如果y為假,則x = x→y為假,但這是一個謬論,而不是悖論。

變量x的存在在自然語言中是隱含的。 當自然語言翻譯成數學時,將創建變量x。 這使我們能夠在保持數學完整性的同時使用具有自然語義的自然語言。

形式邏輯解析
形式邏輯中的參數始於假設將命名(X→Y)的有效性設為X。但是,這不是有效的起點。 首先,我們必須推斷出命名的有效性。 以下定理很容易得到證明,並表示這樣的命名:

∀A,∃X,X = A.
在上面的語句中,公式A命名為X。現在嘗試用(X→Y)實例化A。但是,這是不可能的,因為∃X的範圍在∀A的範圍內。量詞的使用Skolemization可以逆轉:

∃f,∀A,f(A)=A。
但是,現在實例化給出了

f(X→Y)= X→Y,
這不是證明的出發點,不會導致矛盾。 沒有其他實例化A導致悖論的起點。

集合論中的解析

在Zermelo–Fraenkel集理論(ZFC)中,無限制理解的公理被一組允許構建集的公理代替。 因此,Curry的悖論無法在ZFC中陳述。 ZFC的發展是對Russell悖論的回應。

分類
悖論 邏輯

理髮店悖論

理髮店悖論由劉易斯·卡洛爾(Lewis Carroll)在三頁的題為“邏輯悖論”的文章中提出,該論文發表在1894年7月的《心靈》雜誌上。 這個名字來自卡洛爾在文章中用來說明悖論的“裝飾性”短篇小說。 它以前以他的寫作和書信中的幾種替代形式存在,並不總是涉及理髮店。 卡洛爾將其描述為說明“假設理論中的一個非常現實的困難”。 從現代邏輯的觀點來看,與其說是一個悖論,不如說是一個簡單的邏輯錯誤。 儘管代數邏輯方法還沒有得到廣泛的理解(即使在邏輯學家中也是如此),但現在它主要是作為代數邏輯方法發展的一個插曲,儘管這個問題仍在繼續就蘊涵和模態邏輯理論進行討論。

悖論
在故事中,喬叔叔和吉姆叔叔正走到理髮店。 他們解釋說,有3個理髮店在店裡生活和工作,艾倫(Allen),布朗(Brown)和卡爾(Carr),他們中的一些或全部可能都在裡面。我們得到了兩條信息,可以據此得出結論。 首先,商店肯定是開著的,所以至少必須有一個理髮師。其次,據說艾倫非常緊張,因此除非布朗和他一起去,否則他永遠不會離開商店。

現在,按照吉姆叔叔的說法,卡爾是個很好的理髮師,他想知道卡爾是否會剃光他。 喬叔叔堅持認為卡爾一定會在裡面,並聲稱他可以從邏輯上證明這一點。 吉姆叔叔要求提供這一證明。

喬叔叔的論點如下:

假設卡爾不在。 我們將證明這個假設產生了矛盾。 如果Carr不在,那麼我們知道:“如果Allen在外面,那麼Brown在裡面”,因為必須有人在“注意商店”。 但是,我們也知道,只要艾倫出去,他都會把布朗帶到他身邊,因此通常來說,“如果艾倫不在,那麼布朗就出去了”。 我們得出的兩個語句是不兼容的,因為如果艾倫不在,那麼布朗就不能同時為In(根據一個)和Out(根據另一個)。 有矛盾。 因此,我們必須放棄關於卡爾不在的假設,並得出卡爾必須在其中的結論。

吉姆叔叔的回答是,這個結論是沒有根據的。 從兩個“假說”的不相容性得出的正確結論是,在我們假設卡爾不在的情況下,它們中假設的(阿倫不在)必須是錯誤的。 然後,我們的邏輯僅允許我們得出以下結論:“如果卡爾不在,那麼艾倫必須一定在其中”。

歷史糾紛
這種矛盾是由於卡洛爾和他的牛津大學同事,威克漢姆邏輯學教授約翰·庫克·威爾遜之間的分歧而引起的,他們兩人之間長期存在對抗。 卡洛爾(Carroll)所代表的其他人也討論了這個問題,約翰·文恩(John Venn),阿爾弗雷德·西奇威克(Alfred Sidgwick)和貝特朗·羅素(Bertrand Russell)等人隨後發表的文章也討論了該問題。 故事中,庫克·威爾遜(Cook Wilson)的觀點以喬叔叔的角色為代表,喬叔叔試圖證明卡爾必須永遠留在商店裡。 當卡洛爾分發問題的私人印刷版時,其他人也持相同觀點。 正如卡洛爾(Carroll)指出的那樣:“在這個奇怪的觀點上,我與大約十二位邏輯學家通信; 到目前為止,對於C的自由,人們的意見也各有不同。”:445-448

簡化版

符號
閱讀原件時,請記住以下幾點:

卡洛爾所謂的“假設”,現代邏輯學家稱之為“邏輯條件”。
喬叔叔總結了他的荒謬證明,英文為“矛盾證明”。
卡洛爾所說的條件性protasis現在被稱為先行條件,同樣地,apodosis也被稱為結果。
符號可用於大大簡化邏輯語句,例如本故事中固有的那些語句:

操作員(姓名) 口語 象徵性的
否定 不是X ¬ ¬X
連詞 X和Y
析取 要么 X或Y
有條件的 如果……然後 如果X那麼Y X⇒Y

注意:X⇒Y(也稱為“含義”)可以用多種方式用英語閱讀,從“ X足以表示Y”到“ Y跟隨X”。 (另請參閱數學符號表。)

重述
為了更輕鬆地重述卡洛爾的故事,我們將採用以下基本陳述:

A =艾倫在商店裡
B =布朗在
C =卡爾在
因此,例如(¬A∧B)表示“艾倫在外面,布朗在裡面”

吉姆叔叔給了我們兩個公理:

現在商店里至少有一個理髮師(A∨B∨C)
艾倫從來沒有離開過布朗(¬A⇒¬B)
喬叔叔提供了一個證明:

帶有邏輯標記的英文縮寫 主要是像徵性的
假設卡爾不在。 H0:¬C
給定NOT C,如果Allen不在,那麼必須滿足Brown 1才能滿足公理1(A1)。 通過H0和A1,¬A⇒B
但是公理2(A2)給出了艾倫·艾弗的觀點
是不在布朗不在(總是¬A則¬B)
通過A2,¬A⇒¬B
到目前為止,NOT C既產生(非A THEN B)又產生(非A THEN Not B)。 因此¬C⇒((¬A⇒B)∧(¬A⇒¬B))
喬叔叔聲稱這些是矛盾的。
因此,卡爾必須在裡面。 ∴C

喬叔叔基本上認為(¬A⇒B)和(¬A⇒¬B)是矛盾的,說相同的前提不能導致兩個不同的結果。

這種自稱矛盾是喬“證明”的癥結所在。 卡洛爾將這種違反直覺的結果作為一個悖論提出,希望能解決當代的歧義。

討論區
在現代邏輯理論中,這種情況不是悖論。 暗示法則調和了喬叔叔所說的不相容的假設。 該法則規定,“如果X則Y”在邏輯上與“ X為假或Y為真”(¬X∨Y)相同。 例如,給定語句“如果您按下按鈕然後指示燈亮”,則在任何給定時刻都必須為未按下按鈕或指示燈點亮。

簡而言之,得到的不是¬C產生矛盾,而是它必須A,因為¬A實際上是產生矛盾的原因。

在這種情況下,這意味著Carr不必進入,但是如果他不在,Allen必須進入。

簡化為公理1
將隱含定律應用於有條件的條件表明,與其相互矛盾,還不只是簡單地重申以下事實:由於商店是開放的,所以Allen,Brown或Carr中的一個或多個都在營業,而另一個則對誰可以或不可以沒有任何限制在店裡。

為了看到這一點,我們主要通過反复應用蘊涵定律來攻擊吉姆的巨大“矛盾”結果。 首先,讓我們分解兩個令人討厭的條件之一:

“如果艾倫缺席,那麼布朗缺席”
“艾倫進場或布朗進場”
(¬A⇒¬B)
(A¬¬B)

替換成

“如果卡爾出局,那麼如果艾倫也出局,那麼布朗入局,如果艾倫出局,那麼布朗出局。”
¬C⇒((¬A⇒B)∧(¬A⇒¬B))

在繼續應用蘊涵律的情況下,

“如果卡爾缺席,那麼如果艾倫也缺席,布朗就在,或者艾倫缺陣,或者布朗就在外面。”
“如果卡爾不在,那麼這兩個都是正確的:艾倫在或布朗在,而艾倫在或布朗在。”
“卡爾在OR或這兩個都是正確的:艾倫在OR布朗在AND艾倫在OR布朗在外面。”
¬C⇒((¬A⇒B)∧(A∨¬B))
¬C⇒((A∨B)∧(A∨¬B))
C∨((A∨B)∧(A¬B))
注意:C∨((A∨B)∧(A¬B)可以簡化為C∨A
因為(((A∨B)∧(A∨BB))就是A

最後,(在右側,我們在括號中進行分配)

“卡爾在或者艾倫在或者布朗在,而卡爾在或者艾倫在或者布朗在外面。”
“包括在內,卡爾在OR艾倫在OR布朗在裡面,並且包括在內,卡爾在OR艾倫在OR布朗在外面。”
C∨(A∨B)∧C∨(A¬B)
(C∨A∨B)∧(C∨A∨¬B)

因此,這兩個立即成為事實的陳述是:“艾倫,布朗或卡爾在其中一個或多個中”,即公理1,而“卡爾在其中或艾倫在其中或布朗在外面”。 顯然,這兩種說法可以同時成為現實的一種方式是在艾倫所在的情況下(因為艾倫的房子是理髮店,而布朗在某個時候離開了商店)。

描述(X⇒Y)⇔(¬X∨Y)如何將其解析為一組有效的語句的另一種方式是將吉姆關於“如果艾倫也缺席……”的表述改寫為“如果卡爾不在而艾倫缺席,那麼布朗在”((¬C∧¬A)⇒B)。

顯示條件兼容
這兩個條件不是邏輯相反的:通過矛盾證明吉姆需要證明¬C⇒(Z∧¬Z),其中Z恰好是一個條件。

(A⇒B)的對立是¬(A⇒B),根據德摩根定律,它解析為(A∧¬B),它與(¬A¬¬B)根本不相同,是A⇒¬B減少到的。

卡羅爾預見到了對這兩個條件的“兼容性”的困惑,並在故事的結尾提到了這一點。 他試圖通過論證“如果卡爾在……中”的含義和假肢被“錯誤地劃分”來澄清這個問題。 但是,應用蘊涵法則完全消除了“ If…”(減少了析取關係),因此不存在任何假名和切趾現象,也不需要反駁。

分類
悖論 邏輯

阿喀琉斯與烏龜悖論

劉易斯·卡羅爾(Lewis Carroll)於1895年為哲學雜誌《心靈》(Mind)撰寫的“烏龜對阿基里斯說了什麼”,是對邏輯基礎的簡短寓言性對話。 標題暗示了芝諾運動的悖論之一,其中阿喀琉斯永遠不會在比賽中超越烏龜。 在卡洛爾的對話中,烏龜向阿基里斯挑戰,用邏輯力使他接受簡單演繹論證的結論。 最終,阿喀琉斯失敗了,因為聰明的烏龜使他陷入了無限的回歸。

對話摘要
討論首先考慮以下邏輯論點:

答:“相同的事物彼此相等”(歐幾里得關係,傳遞屬性的一種弱化形式)
B:“這個三角形的兩端等於相同的東西”
因此,Z:“此三角形的兩側彼此相等”
烏龜問阿基里斯結論是否在邏輯上是從前提得出的,而阿基里斯同意這樣做。 然後,烏龜問阿基里斯(Achilles)是否可能有一個Euclid讀者,他認為該論證在邏輯上是有效的(按順序),同時否認A和B是正確的。 阿喀琉斯承認這樣的讀者可能存在,並且他認為如果A和B為真,則Z必須為真,而尚未接受A和B為真(即拒絕前提的讀者)。

然後,烏龜問阿喀琉斯是否可能存在第二種讀者,他們接受A和B是真實的,但是還不接受這樣的原理:如果A和B都真實,那麼Z必須是真實。 阿基里斯向烏龜授予第二種讀者也可能存在的機會。 然後,烏龜請阿基里斯把烏龜當作第二類讀者。 阿基里斯現在必須在邏輯上強迫烏龜接受Z必須為真。 (烏龜是拒絕論證形式本身,三段論的結論,結構或有效性的讀者。)

在筆記本中寫下A,B和Z之後,阿喀琉斯要求烏龜接受假設:

C:“如果A和B為真,則Z必須為真”

如果阿基里斯將在筆記本中寫下必須接受的內容,烏龜同意接受C,並提出新的論點:

答:“相同的事物彼此相等”
B:“這個三角形的兩端等於相同的東西”
C:“如果A和B為真,則Z必須為真”
因此,Z:“此三角形的兩側彼此相等”

但是既然烏龜接受了前提C,它仍然拒絕接受擴展的論點。 當阿喀琉斯要求“如果您接受A,B和C,您必須接受Z”時,烏龜表示這是另一個假設命題,並建議即使接受C,如果它沒有看到Z,它仍然可能無法得出Z。真相:

D:“如果A,B和C為真,則Z必須為真”

阿基里斯(Achilles)寫下後,烏龜繼續接受每個假設前提,但否認結論必然存在,因為每次它都拒絕假設,如果到目前為止寫下的所有前提都是真實的,則Z必須是真實的:

“最後,我們到了理想賽馬場的盡頭! 現在您接受了A,B,C和D,當然您也接受了Z。”

“我嗎?” 烏龜天真地說。 “讓我們說得很清楚。 我接受A,B,C和D。假設我仍然拒絕接受Z?”

“然後,邏輯將帶您進入喉嚨,並迫使您去做!” 阿喀琉斯得意地回答。 “邏輯會告訴您,’您無能為力。 現在您已經接受了A,B,C和D,那麼您必須接受Z! 因此,您別無選擇,明白了。”

“任何邏輯都足以告訴我,值得寫下來,”烏龜說。 “所以請在筆記本上輸入它。 我們稱它為

(E)如果A和B以及C和D為真,則Z必須為真。
在我同意之前,我當然不需要授予Z。因此,這是相當必要的一步,您知道嗎?”

“我明白了。”阿基里斯說。 他的語氣有些悲傷。

因此,前提列表不斷增長,而且沒有止境,而參數始終採用以下形式:

(1):“相同的事物彼此相等”
(2):“這個三角形的兩側等於相同的事物”
(3):(1)和(2)⇒(Z)
(4):(1)和(2)和(3)⇒(Z)

(n):(1)和(2)以及(3)和(4)以及……和(n − 1)⇒(Z)
因此,(Z):“此三角形的兩側彼此相等”

在每一步中,烏龜都爭辯說,即使他接受了所有已記下的前提,但還有其他前提(如果(1)–(n)的全部為真,則(Z)必須為真)在被迫接受(Z)為真之前,它仍然需要接受。

說明
劉易斯·卡洛爾(Lewis Carroll)表明,歸因於慣常用法的推論產生了一個回歸問題。

P到Q,P /因此Q

或者,換句話說:命題P(是真的)意味著Q(是真的),並且給定P,因此是Q。

之所以出現回歸問題,是因為需要先驗的原理來解釋邏輯原理,這裡是慣用語,一旦解釋了該原理,就需要另一條原理來解釋該原理。 因此,如果因果鏈要繼續下去,則論點將陷入無限回歸。 但是,如果引入了形式系統,而慣用語只是系統內部定義的推理規則,那麼只需在系統內部進行推理就可以遵守。

以此類推,國際象棋是按照一組特定的規則下棋的,當一個人下棋時,他不能質疑或乞求與給定的規則有所不同,而必須遵守這些規則,因為它們構成了遊戲的框架。 但這並不是說國際象棋棋手同意這些規則(例如,考慮規則更改,例如“ pass pass”)。 同樣,一個正式的邏輯系統由推理規則組成,系統用戶必須遵循這些推理規則,當一個人根據該正式系統推理時,他不能質疑或不同於這些推理規則,而必須遵守這些推理規則。因為它們構成了系統的組成部分。 這並不是說根據這種形式系統進行的用戶推理符合這些規則(例如,考慮到建構主義者對被排除中間法則的拒絕和辯證法對不矛盾法則的拒絕)。 通過這種方式,可以將形式化邏輯作為系統視為對無限回歸問題的回應:慣常方法被放置在系統中,而慣常方法的有效性在沒有系統的情況下被避免。

在命題邏輯中,邏輯含義定義如下:

當且僅當命題不是P或Q是重言式時,P才意味著Q。

因此,根據剛剛陳述的邏輯蘊涵的定義,[p∧(P→Q)]⇒Q是有效的邏輯結論。 證明邏輯含義只是轉化為驗證複合真值表是否產生了重言式。 但是,烏龜沒有接受信仰這一解釋所依據的命題邏輯規則。 他要求這些規則也要有邏輯證明。 烏龜和阿喀琉斯人對邏輯含義沒有任何定義。

此外,該故事還暗示了命題解決方案存在的問題。 在命題邏輯系統中,任何命題或變量都不攜帶任何語義內容。 一旦任何命題或變量具有語義內容,該問題就會再次出現,因為語義內容在系統外部運行。 因此,如果說該解決方案有效,那麼就說它僅在給定的正式系統內有效,而在其他方面則無效。

一些邏輯學家(肯尼思·羅斯(Kenneth Ross),查爾斯·賴特(Charles Wright))在條件連接詞和蘊涵關係之間做出了明確的區分。 這些邏輯學家將短語p或q用作條件連接詞,而該術語暗指所主張的暗示關係。

討論
幾位哲學家試圖解決卡洛爾的悖論。 伯特蘭·羅素(Bertrand Russell)在《數學原理》(1903)第38節中簡要討論了這一悖論,區分了暗示(與形式為“ if p,then q”相關)和暗示(與之相關)之間的關係。形式為“ p,因此q”),他認為這是主張的命題之間的關係; 做出區分後,拉塞爾可以否認烏龜試圖將A和B中的Z推論為等同於或依賴於假設“如果A和B為真,則Z為真”的嘗試。

維特根斯坦哲學家彼得·溫奇(Peter Winch)在《社會科學的思想及其與哲學的關係》(1958年)中討論了悖論,他在悖論中指出“得出推論的實際過程畢竟是邏輯的核心”。 ,這是不能用邏輯公式表示的。學習推論不只是關於命題之間明確的邏輯關係的教導;它還可以用來學習邏輯推理。 它正在學習做某事”。 溫奇繼續說,對話的道德性是一堂普通課的一個特例,其結果是,不能適當地將管理某種人類活動形式的規則的適用本身與一系列其他規則相加,因此“人類活動的一種形式永遠不能歸納為一套明確的戒律”。

卡羅爾的對話顯然是對傳統主義關於邏輯真理的障礙的第一個描述,後來由WVO Quine用更為清醒的哲學術語進行了重新闡述。