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悖論 邏輯

希爾伯特-伯納斯悖論

希爾伯特-伯納斯悖論是一種獨特的悖論,屬於參照悖論家族(如貝里的悖論)。它以David Hilbert和Paul Bernays的名字命名。

歷史
悖論出現在希爾伯特和伯納伊斯的《數學基礎》中,並被他們用來表明足夠強大的一致理論不能包含其自己的參照函。儘管在20世紀的過程中幾乎沒有引起人們的注意,但是由於它所帶來的獨特困難,它最近被重新發現並受到讚賞。

公式
就像真理的語義屬性似乎受天真的模式支配一樣:

(T)當且僅當P時句子’P’為真
(在這裡我們使用單引號來引用引號內的語言表達式),引用的語義屬性似乎受幼稚模式的支配:

(R)如果存在a,則名稱“a”的所指與a相同
但是,考慮滿足以下條件的(自然)數的名稱h:

(H)h與“(h的指代)+1’相同
假設對於某個數字n:

(1)h的對象與n相同
那麼,肯定地,h的對象存在,(h的對象)+1也存在。通過(R),可以得出:

(2)’(h的被攝體)+1’的對象與(h的被攝體)+1相同
因此,根據(H)和相同性的不可區分原理,情況是:

(3)h的對象與(h的對象)+1相同
但是,由於相同性的不可區分性,(1)和(3)得出:

(4)h的對象與n +1相同
通過身份的及物性,(1)與(4)一起得出:

(5)n與n + 1相同
但是(5)是荒謬的,因為沒有數字與其後繼數字相同。

解決方案
由於每個足夠強大的理論都必須接受類似(H)的內容,因此只能通過拒絕樸素的引用(R)原理或拒絕經典的邏輯(可以驗證(R)和(H)荒唐)。在第一種方法上,通常任何關於說謊者悖論的說法都會順暢地過渡到希爾伯特-伯納斯悖論。相反,該悖論為追求第二種方法的許多解決方案帶來了獨特的困難:例如,拒絕拒絕中律(希爾伯特-貝納斯悖論未使用)的說謊者悖論的解決方案否認存在這樣的問題。 h的指代物;