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悖論 邏輯

理髮店悖論

理髮店悖論由劉易斯·卡洛爾(Lewis Carroll)在三頁的題為“邏輯悖論”的文章中提出,該論文發表在1894年7月的《心靈》雜誌上。 這個名字來自卡洛爾在文章中用來說明悖論的“裝飾性”短篇小說。 它以前以他的寫作和書信中的幾種替代形式存在,並不總是涉及理髮店。 卡洛爾將其描述為說明“假設理論中的一個非常現實的困難”。 從現代邏輯的觀點來看,與其說是一個悖論,不如說是一個簡單的邏輯錯誤。 儘管代數邏輯方法還沒有得到廣泛的理解(即使在邏輯學家中也是如此),但現在它主要是作為代數邏輯方法發展的一個插曲,儘管這個問題仍在繼續就蘊涵和模態邏輯理論進行討論。

悖論
在故事中,喬叔叔和吉姆叔叔正走到理髮店。 他們解釋說,有3個理髮店在店裡生活和工作,艾倫(Allen),布朗(Brown)和卡爾(Carr),他們中的一些或全部可能都在裡面。我們得到了兩條信息,可以據此得出結論。 首先,商店肯定是開著的,所以至少必須有一個理髮師。其次,據說艾倫非常緊張,因此除非布朗和他一起去,否則他永遠不會離開商店。

現在,按照吉姆叔叔的說法,卡爾是個很好的理髮師,他想知道卡爾是否會剃光他。 喬叔叔堅持認為卡爾一定會在裡面,並聲稱他可以從邏輯上證明這一點。 吉姆叔叔要求提供這一證明。

喬叔叔的論點如下:

假設卡爾不在。 我們將證明這個假設產生了矛盾。 如果Carr不在,那麼我們知道:“如果Allen在外面,那麼Brown在裡面”,因為必須有人在“注意商店”。 但是,我們也知道,只要艾倫出去,他都會把布朗帶到他身邊,因此通常來說,“如果艾倫不在,那麼布朗就出去了”。 我們得出的兩個語句是不兼容的,因為如果艾倫不在,那麼布朗就不能同時為In(根據一個)和Out(根據另一個)。 有矛盾。 因此,我們必須放棄關於卡爾不在的假設,並得出卡爾必須在其中的結論。

吉姆叔叔的回答是,這個結論是沒有根據的。 從兩個“假說”的不相容性得出的正確結論是,在我們假設卡爾不在的情況下,它們中假設的(阿倫不在)必須是錯誤的。 然後,我們的邏輯僅允許我們得出以下結論:“如果卡爾不在,那麼艾倫必須一定在其中”。

歷史糾紛
這種矛盾是由於卡洛爾和他的牛津大學同事,威克漢姆邏輯學教授約翰·庫克·威爾遜之間的分歧而引起的,他們兩人之間長期存在對抗。 卡洛爾(Carroll)所代表的其他人也討論了這個問題,約翰·文恩(John Venn),阿爾弗雷德·西奇威克(Alfred Sidgwick)和貝特朗·羅素(Bertrand Russell)等人隨後發表的文章也討論了該問題。 故事中,庫克·威爾遜(Cook Wilson)的觀點以喬叔叔的角色為代表,喬叔叔試圖證明卡爾必須永遠留在商店裡。 當卡洛爾分發問題的私人印刷版時,其他人也持相同觀點。 正如卡洛爾(Carroll)指出的那樣:“在這個奇怪的觀點上,我與大約十二位邏輯學家通信; 到目前為止,對於C的自由,人們的意見也各有不同。”:445-448

簡化版

符號
閱讀原件時,請記住以下幾點:

卡洛爾所謂的“假設”,現代邏輯學家稱之為“邏輯條件”。
喬叔叔總結了他的荒謬證明,英文為“矛盾證明”。
卡洛爾所說的條件性protasis現在被稱為先行條件,同樣地,apodosis也被稱為結果。
符號可用於大大簡化邏輯語句,例如本故事中固有的那些語句:

操作員(姓名) 口語 象徵性的
否定 不是X ¬ ¬X
連詞 X和Y
析取 要么 X或Y
有條件的 如果……然後 如果X那麼Y X⇒Y

注意:X⇒Y(也稱為“含義”)可以用多種方式用英語閱讀,從“ X足以表示Y”到“ Y跟隨X”。 (另請參閱數學符號表。)

重述
為了更輕鬆地重述卡洛爾的故事,我們將採用以下基本陳述:

A =艾倫在商店裡
B =布朗在
C =卡爾在
因此,例如(¬A∧B)表示“艾倫在外面,布朗在裡面”

吉姆叔叔給了我們兩個公理:

現在商店里至少有一個理髮師(A∨B∨C)
艾倫從來沒有離開過布朗(¬A⇒¬B)
喬叔叔提供了一個證明:

帶有邏輯標記的英文縮寫 主要是像徵性的
假設卡爾不在。 H0:¬C
給定NOT C,如果Allen不在,那麼必須滿足Brown 1才能滿足公理1(A1)。 通過H0和A1,¬A⇒B
但是公理2(A2)給出了艾倫·艾弗的觀點
是不在布朗不在(總是¬A則¬B)
通過A2,¬A⇒¬B
到目前為止,NOT C既產生(非A THEN B)又產生(非A THEN Not B)。 因此¬C⇒((¬A⇒B)∧(¬A⇒¬B))
喬叔叔聲稱這些是矛盾的。
因此,卡爾必須在裡面。 ∴C

喬叔叔基本上認為(¬A⇒B)和(¬A⇒¬B)是矛盾的,說相同的前提不能導致兩個不同的結果。

這種自稱矛盾是喬“證明”的癥結所在。 卡洛爾將這種違反直覺的結果作為一個悖論提出,希望能解決當代的歧義。

討論區
在現代邏輯理論中,這種情況不是悖論。 暗示法則調和了喬叔叔所說的不相容的假設。 該法則規定,“如果X則Y”在邏輯上與“ X為假或Y為真”(¬X∨Y)相同。 例如,給定語句“如果您按下按鈕然後指示燈亮”,則在任何給定時刻都必須為未按下按鈕或指示燈點亮。

簡而言之,得到的不是¬C產生矛盾,而是它必須A,因為¬A實際上是產生矛盾的原因。

在這種情況下,這意味著Carr不必進入,但是如果他不在,Allen必須進入。

簡化為公理1
將隱含定律應用於有條件的條件表明,與其相互矛盾,還不只是簡單地重申以下事實:由於商店是開放的,所以Allen,Brown或Carr中的一個或多個都在營業,而另一個則對誰可以或不可以沒有任何限制在店裡。

為了看到這一點,我們主要通過反复應用蘊涵定律來攻擊吉姆的巨大“矛盾”結果。 首先,讓我們分解兩個令人討厭的條件之一:

“如果艾倫缺席,那麼布朗缺席”
“艾倫進場或布朗進場”
(¬A⇒¬B)
(A¬¬B)

替換成

“如果卡爾出局,那麼如果艾倫也出局,那麼布朗入局,如果艾倫出局,那麼布朗出局。”
¬C⇒((¬A⇒B)∧(¬A⇒¬B))

在繼續應用蘊涵律的情況下,

“如果卡爾缺席,那麼如果艾倫也缺席,布朗就在,或者艾倫缺陣,或者布朗就在外面。”
“如果卡爾不在,那麼這兩個都是正確的:艾倫在或布朗在,而艾倫在或布朗在。”
“卡爾在OR或這兩個都是正確的:艾倫在OR布朗在AND艾倫在OR布朗在外面。”
¬C⇒((¬A⇒B)∧(A∨¬B))
¬C⇒((A∨B)∧(A∨¬B))
C∨((A∨B)∧(A¬B))
注意:C∨((A∨B)∧(A¬B)可以簡化為C∨A
因為(((A∨B)∧(A∨BB))就是A

最後,(在右側,我們在括號中進行分配)

“卡爾在或者艾倫在或者布朗在,而卡爾在或者艾倫在或者布朗在外面。”
“包括在內,卡爾在OR艾倫在OR布朗在裡面,並且包括在內,卡爾在OR艾倫在OR布朗在外面。”
C∨(A∨B)∧C∨(A¬B)
(C∨A∨B)∧(C∨A∨¬B)

因此,這兩個立即成為事實的陳述是:“艾倫,布朗或卡爾在其中一個或多個中”,即公理1,而“卡爾在其中或艾倫在其中或布朗在外面”。 顯然,這兩種說法可以同時成為現實的一種方式是在艾倫所在的情況下(因為艾倫的房子是理髮店,而布朗在某個時候離開了商店)。

描述(X⇒Y)⇔(¬X∨Y)如何將其解析為一組有效的語句的另一種方式是將吉姆關於“如果艾倫也缺席……”的表述改寫為“如果卡爾不在而艾倫缺席,那麼布朗在”((¬C∧¬A)⇒B)。

顯示條件兼容
這兩個條件不是邏輯相反的:通過矛盾證明吉姆需要證明¬C⇒(Z∧¬Z),其中Z恰好是一個條件。

(A⇒B)的對立是¬(A⇒B),根據德摩根定律,它解析為(A∧¬B),它與(¬A¬¬B)根本不相同,是A⇒¬B減少到的。

卡羅爾預見到了對這兩個條件的“兼容性”的困惑,並在故事的結尾提到了這一點。 他試圖通過論證“如果卡爾在……中”的含義和假肢被“錯誤地劃分”來澄清這個問題。 但是,應用蘊涵法則完全消除了“ If…”(減少了析取關係),因此不存在任何假名和切趾現象,也不需要反駁。