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悖論 邏輯

阿喀琉斯與烏龜悖論

劉易斯·卡羅爾(Lewis Carroll)於1895年為哲學雜誌《心靈》(Mind)撰寫的“烏龜對阿基里斯說了什麼”,是對邏輯基礎的簡短寓言性對話。 標題暗示了芝諾運動的悖論之一,其中阿喀琉斯永遠不會在比賽中超越烏龜。 在卡洛爾的對話中,烏龜向阿基里斯挑戰,用邏輯力使他接受簡單演繹論證的結論。 最終,阿喀琉斯失敗了,因為聰明的烏龜使他陷入了無限的回歸。

對話摘要
討論首先考慮以下邏輯論點:

答:“相同的事物彼此相等”(歐幾里得關係,傳遞屬性的一種弱化形式)
B:“這個三角形的兩端等於相同的東西”
因此,Z:“此三角形的兩側彼此相等”
烏龜問阿基里斯結論是否在邏輯上是從前提得出的,而阿基里斯同意這樣做。 然後,烏龜問阿基里斯(Achilles)是否可能有一個Euclid讀者,他認為該論證在邏輯上是有效的(按順序),同時否認A和B是正確的。 阿喀琉斯承認這樣的讀者可能存在,並且他認為如果A和B為真,則Z必須為真,而尚未接受A和B為真(即拒絕前提的讀者)。

然後,烏龜問阿喀琉斯是否可能存在第二種讀者,他們接受A和B是真實的,但是還不接受這樣的原理:如果A和B都真實,那麼Z必須是真實。 阿基里斯向烏龜授予第二種讀者也可能存在的機會。 然後,烏龜請阿基里斯把烏龜當作第二類讀者。 阿基里斯現在必須在邏輯上強迫烏龜接受Z必須為真。 (烏龜是拒絕論證形式本身,三段論的結論,結構或有效性的讀者。)

在筆記本中寫下A,B和Z之後,阿喀琉斯要求烏龜接受假設:

C:“如果A和B為真,則Z必須為真”

如果阿基里斯將在筆記本中寫下必須接受的內容,烏龜同意接受C,並提出新的論點:

答:“相同的事物彼此相等”
B:“這個三角形的兩端等於相同的東西”
C:“如果A和B為真,則Z必須為真”
因此,Z:“此三角形的兩側彼此相等”

但是既然烏龜接受了前提C,它仍然拒絕接受擴展的論點。 當阿喀琉斯要求“如果您接受A,B和C,您必須接受Z”時,烏龜表示這是另一個假設命題,並建議即使接受C,如果它沒有看到Z,它仍然可能無法得出Z。真相:

D:“如果A,B和C為真,則Z必須為真”

阿基里斯(Achilles)寫下後,烏龜繼續接受每個假設前提,但否認結論必然存在,因為每次它都拒絕假設,如果到目前為止寫下的所有前提都是真實的,則Z必須是真實的:

“最後,我們到了理想賽馬場的盡頭! 現在您接受了A,B,C和D,當然您也接受了Z。”

“我嗎?” 烏龜天真地說。 “讓我們說得很清楚。 我接受A,B,C和D。假設我仍然拒絕接受Z?”

“然後,邏輯將帶您進入喉嚨,並迫使您去做!” 阿喀琉斯得意地回答。 “邏輯會告訴您,’您無能為力。 現在您已經接受了A,B,C和D,那麼您必須接受Z! 因此,您別無選擇,明白了。”

“任何邏輯都足以告訴我,值得寫下來,”烏龜說。 “所以請在筆記本上輸入它。 我們稱它為

(E)如果A和B以及C和D為真,則Z必須為真。
在我同意之前,我當然不需要授予Z。因此,這是相當必要的一步,您知道嗎?”

“我明白了。”阿基里斯說。 他的語氣有些悲傷。

因此,前提列表不斷增長,而且沒有止境,而參數始終採用以下形式:

(1):“相同的事物彼此相等”
(2):“這個三角形的兩側等於相同的事物”
(3):(1)和(2)⇒(Z)
(4):(1)和(2)和(3)⇒(Z)

(n):(1)和(2)以及(3)和(4)以及……和(n − 1)⇒(Z)
因此,(Z):“此三角形的兩側彼此相等”

在每一步中,烏龜都爭辯說,即使他接受了所有已記下的前提,但還有其他前提(如果(1)–(n)的全部為真,則(Z)必須為真)在被迫接受(Z)為真之前,它仍然需要接受。

說明
劉易斯·卡洛爾(Lewis Carroll)表明,歸因於慣常用法的推論產生了一個回歸問題。

P到Q,P /因此Q

或者,換句話說:命題P(是真的)意味著Q(是真的),並且給定P,因此是Q。

之所以出現回歸問題,是因為需要先驗的原理來解釋邏輯原理,這裡是慣用語,一旦解釋了該原理,就需要另一條原理來解釋該原理。 因此,如果因果鏈要繼續下去,則論點將陷入無限回歸。 但是,如果引入了形式系統,而慣用語只是系統內部定義的推理規則,那麼只需在系統內部進行推理就可以遵守。

以此類推,國際象棋是按照一組特定的規則下棋的,當一個人下棋時,他不能質疑或乞求與給定的規則有所不同,而必須遵守這些規則,因為它們構成了遊戲的框架。 但這並不是說國際象棋棋手同意這些規則(例如,考慮規則更改,例如“ pass pass”)。 同樣,一個正式的邏輯系統由推理規則組成,系統用戶必須遵循這些推理規則,當一個人根據該正式系統推理時,他不能質疑或不同於這些推理規則,而必須遵守這些推理規則。因為它們構成了系統的組成部分。 這並不是說根據這種形式系統進行的用戶推理符合這些規則(例如,考慮到建構主義者對被排除中間法則的拒絕和辯證法對不矛盾法則的拒絕)。 通過這種方式,可以將形式化邏輯作為系統視為對無限回歸問題的回應:慣常方法被放置在系統中,而慣常方法的有效性在沒有系統的情況下被避免。

在命題邏輯中,邏輯含義定義如下:

當且僅當命題不是P或Q是重言式時,P才意味著Q。

因此,根據剛剛陳述的邏輯蘊涵的定義,[p∧(P→Q)]⇒Q是有效的邏輯結論。 證明邏輯含義只是轉化為驗證複合真值表是否產生了重言式。 但是,烏龜沒有接受信仰這一解釋所依據的命題邏輯規則。 他要求這些規則也要有邏輯證明。 烏龜和阿喀琉斯人對邏輯含義沒有任何定義。

此外,該故事還暗示了命題解決方案存在的問題。 在命題邏輯系統中,任何命題或變量都不攜帶任何語義內容。 一旦任何命題或變量具有語義內容,該問題就會再次出現,因為語義內容在系統外部運行。 因此,如果說該解決方案有效,那麼就說它僅在給定的正式系統內有效,而在其他方面則無效。

一些邏輯學家(肯尼思·羅斯(Kenneth Ross),查爾斯·賴特(Charles Wright))在條件連接詞和蘊涵關係之間做出了明確的區分。 這些邏輯學家將短語p或q用作條件連接詞,而該術語暗指所主張的暗示關係。

討論
幾位哲學家試圖解決卡洛爾的悖論。 伯特蘭·羅素(Bertrand Russell)在《數學原理》(1903)第38節中簡要討論了這一悖論,區分了暗示(與形式為“ if p,then q”相關)和暗示(與之相關)之間的關係。形式為“ p,因此q”),他認為這是主張的命題之間的關係; 做出區分後,拉塞爾可以否認烏龜試圖將A和B中的Z推論為等同於或依賴於假設“如果A和B為真,則Z為真”的嘗試。

維特根斯坦哲學家彼得·溫奇(Peter Winch)在《社會科學的思想及其與哲學的關係》(1958年)中討論了悖論,他在悖論中指出“得出推論的實際過程畢竟是邏輯的核心”。 ,這是不能用邏輯公式表示的。學習推論不只是關於命題之間明確的邏輯關係的教導;它還可以用來學習邏輯推理。 它正在學習做某事”。 溫奇繼續說,對話的道德性是一堂普通課的一個特例,其結果是,不能適當地將管理某種人類活動形式的規則的適用本身與一系列其他規則相加,因此“人類活動的一種形式永遠不能歸納為一套明確的戒律”。

卡羅爾的對話顯然是對傳統主義關於邏輯真理的障礙的第一個描述,後來由WVO Quine用更為清醒的哲學術語進行了重新闡述。