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飲酒者悖論

飲酒者悖論(也稱為飲酒者定理,飲酒者原理或飲酒原理)是經典謂詞邏輯的一個定理,可以說為“酒館中有人,如果他在喝酒,那麼每個人都會飲酒。酒吧在喝酒。” 它由數學邏輯學家Raymond Smullyan推廣,他在1978年的書《這本書的名字是什麼?》中稱其為“飲酒原理”。

該陳述的明顯自相矛盾性質來自其通常以自然語言陳述的方式。 可能有人會導致其他人喝酒,或者有人可能整夜都以為一個人總是最後一個喝酒,這似乎是違反直覺的。 第一個反對意見是將形式化的“ if if”語句與因果關係混淆(請參閱“相關性”並不暗示因果關係或相關性邏輯要求前提和結果之間存在相關關係的邏輯,與此處假定的經典邏輯不同)。 該定理的形式陳述是永恆的,消除了第二個反對意見,因為陳述在某一瞬間成立的人不一定與在其他任何時刻成立的人相同。

該定理的正式陳述是

∃X∈P. [D(x)→∀y∈P. D(y)]
其中D是任意謂詞,P是任意非空集。

證明
證明始於認識到確實是酒吧中的每個人都在喝酒,或者酒吧中至少有一個人不在喝酒。 因此,有兩種情況需要考慮:

假設每個人都在喝酒。 對於任何一個特定的人來說,如果說那個特定的人正在喝酒,那麼酒吧里的每個人都在喝酒是正確的,因為每個人都在喝酒。 因為每個人都在喝酒,所以那個人必須喝酒,因為那個人喝酒時每個人都喝酒,每個人都包括那個人。
否則,至少一個人不喝酒。 對於任何不飲酒的人,如果該特定人正在喝酒,那麼酒館中的每個人都在喝酒,這在形式上是正確的:其前提(“該特定人在喝酒”)是錯誤的,因此由於材料的性質,該聲明是正確的形式邏輯的含義,其中指出“如果P,則Q”如果P為假,則始終為真。 (這些陳述被認為是虛無的。)
表達上述內容的一種更正式的方式是說,如果每個人都喝酒,那麼任何人都可以證明該定理的有效性。 如果某人不喝酒,那麼該特定的非飲酒者可以證明該定理的有效性。

悖論的解釋
悖論最終基於形式邏輯的原理,即只要A為假,則陳述A→B為真,即任何陳述都源於虛假陳述(也稱為quodlibet)。

對於悖論而言,重要的是古典(和直覺)邏輯中的條件是物質條件。 它具有以下屬性:如果B為真或A為假,則A→B為真(在經典邏輯中,但不是直覺邏輯,這也是必要條件)。

因此,如此處所應用的,“如果他正在喝酒,每個人都在喝酒”的陳述在一種情況下(如果每個人都在喝酒)在另一種情況下(如果他不喝酒)被認為是正確的,即使他可能會喝酒。與其他人的飲酒沒有任何關係。

另一方面,在自然語言中,通常將“如果……則……”用作指示性條件。

歷史和變化
Smullyan在1978年的書中將“飲酒原理”的命名歸功於他的研究生。 他還討論了變體(通過用其他更具戲劇性的謂詞替換D來獲得):

“地球上有一個女人,如果她變得不育,整個人類都會消亡。” Smullyan寫道,這種表述來自他與哲學家John Bacon的一次對話。
原則的“雙重”版本:“至少有一個人,如果有人喝酒,那麼他就喝酒。”

作為“ Smullyan的“ Drinkers”原理”或僅僅是“ Drinkers”原理,它出現在HP Barendregt的“追求正確性”(1996)中,並附帶一些機器證明。 從那以後,它在有關自動推理的出版物中經常出現。 有時用來對比證明助手的表現力

非空域
在允許使用空域的環境中,飲酒者悖論必須制定如下:

集合P滿足

∃X∈P. [D(x)→∀y∈P. D(y)],
當且僅當它為非空時。

或用言語:

當且僅當酒吧中有人時,酒吧中才有人,如果他在喝酒,那麼酒吧中的每個人都在喝酒。