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悖論 邏輯

蘊含悖論

作為最著名的悖論,而且形式上最簡單,蘊涵悖論是最好的介紹。

在自然語言中,蘊含悖論的一個實例出現了:

正在下雨

沒下雨

因此

喬治·華盛頓(George Washington)用耙子做成。

這是由爆炸原理引起的,爆炸原理是古典邏輯定律,指出前提不一致總是使論點成立。 也就是說,前提不一致暗示著任何結論。 這似乎是自相矛盾的,因為儘管以上內容在邏輯上是有效的,但它並不合理(並非所有前提都正確)。

推論
有效性在經典邏輯中定義如下:

當且僅當不存在所有前提都為真且結論為假的情況下,論點(由前提和結論組成)才有效。
例如,一個有效的參數可能會運行:

如果正在下雨,則存在水(第一前提)
正在下雨(第二場)
存在水(結論)

在此示例中,不可能存在前提為真而結論為假的情況。 由於沒有反例,因此該參數有效。

但是,可以提出一種前提不一致的論點。 這將滿足對有效論證的檢驗,因為不可能存在所有前提都為真的情況,因此不可能存在所有前提都為真且結論為假的情況。

例如,前提不一致的參數可能會運行:

肯定在下雨(第一前提;正確)
不下雨(第二前提;假)
喬治華盛頓是用耙子做成的(結論)

由於不可能存在兩個前提都成立的情況,因此當然不可能存在結論為假時前提可能成立的情況。 因此,無論結論如何,論點都是有效的。 前提不一致意味著所有結論。

說明
蘊含悖論的奇怪之處是由於這樣的事實,即古典邏輯中有效性的定義並不總是與普通語言中術語的使用一致。 在日常使用中,有效性表明前提是一致的。 在經典邏輯中,引入了額外的健全性概念。 合理的論點是具有所有真實前提的有效論點。 因此,帶有不一致前提的有效論點永遠不會成立。 為消除此悖論而對邏輯有效性概念提出的建議改進是相關邏輯。

簡化版
經典悖論公式與公式緊密相關,

p∧q→p
簡化原理,可以很容易地從悖論公式中得出(例如,從(1)引入)。 此外,嘗試使用實質性含義來表示英語“ if…then…”存在嚴重問題。 例如,以下是有效的推論:

(p→q)∧(r→s)⊢(p→s)∨(r→q)
(p∧q)→r⊢(p→r)∨(q→r)}
但是使用“ if”將它們映射回英語句子會產生悖論。 第一個可能是“如果約翰在倫敦,那麼他在英國,如果他在巴黎,那麼他在法國。 因此,或者(a)如果約翰在倫敦,那麼他在法國,或者(b)如果他在巴黎,那麼他在英國,這是正確的。” 用物質暗示,如果約翰真的在倫敦,那麼(因為他不在巴黎)(b)是真的; 而如果他在巴黎,則(a)為真。 由於他不能同時出現在兩個地方,因此至少(a)或(b)之一為真的結論是正確的。

但這與自然語言中的“如果……那麼……”的使用方式不匹配:如果約翰不知道倫敦在哪裡,最可能出現這樣的情況:“如果約翰在倫敦,那麼他在英國”。但是他知道如果他在倫敦,那麼他在英國。 在這種解釋下,兩個前提都是正確的,但是結論的兩個條款都是錯誤的。

第二個示例可以讀為“如果同時關閉了開關A和開關B,則指示燈點亮。 因此,可以肯定的是,如果開關A關閉,則燈亮,或者如果開關B關閉,則燈亮。” 在這裡,“ if…then…”語句最可能的自然語言解釋是“每當開關A關閉時,燈點亮”,以及“每當開關B關閉時,燈點亮”。 同樣,在這種解釋下,結論的兩個條款都可能是錯誤的(例如,在串聯電路中,只有兩個開關均閉合時,指示燈才會亮起)。