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悖論 邏輯

理髮師悖論

理髮師悖論是從羅素悖論派生出來的難題。 伯特蘭·羅素(Bertrand Russell)自己曾用它來說明這種悖論,儘管他將其歸因於一位不願透露姓名的人,並向他提出了建議。 這個難題表明,從邏輯上講,似乎不可能的情況是不可能的。 具體來說,它描述了一個理髮師,他被定義為既剃光自己又不剃光自己。

悖論
理髮師是“剃光所有剃毛刀的人,只有剃光自己剃毛刀的人”。 問題是,理髮師會刮鬍子嗎?

回答這個問題會導致矛盾。 理髮師不能刮鬍子,因為他只刮鬍子那些不刮鬍子的人。 因此,如果他刮鬍子,他將不再是理髮師。 相反,如果理髮師不剃光自己,那麼他就適合那些會被理髮師剃光的人,因此,作為理髮師,他必須剃光自己。

歷史
這種悖論常常被錯誤地歸因於貝特朗·羅素(例如,阿哈!的馬丁·加德納(Martin Gardner)!)。 Gardner提出將其作為Russell悖論的另一種形式,Russell提出該悖論是為了證明格奧爾格·坎托和Gottlob Frege使用的集合論包含矛盾。 但是,羅素否認理髮師的悖論是他自己的一個實例:

這種矛盾[羅素悖論]非常有趣。 您可以修改其形式。 有些修改形式有效,有些則無效。 我曾經向我建議過一種無效的表格,即理髮師是否刮鬍子的問題。 您可以將理髮師定義為“剃光所有剃毛刀的人,而剃光自己剃毛刀的人”。 問題是,理髮師會刮鬍子嗎? 用這種形式的矛盾不是很難解決的。 但是,在我們以前的形式中,我認為很明顯,您只能通過觀察類是否是其成員的整個問題是無意義的,即沒有類是其自身的成員,這是無稽之談。 ,甚至說這也不是真的,因為整個單詞的形式只是無意義的雜音。
—伯特蘭·羅素(Bertrand Russell),邏輯原子論哲學

這一點在《羅素悖論》的“應用版本”中有進一步闡述。

聲明
我們可以將悖論陳述如下:

村莊的市議會投票通過一項市政法令,責令其(男性)理髮師剃光該村莊所有不剃光自己的男性居民,而只剃光這些。

作為該村居民的理髮師不能遵守該規定,因為:

如果他自己刮鬍子,就會違反規則,因為理髮師只能剃那些不剃自己的男人。
如果他不剃光自己(不管是剃光還是留鬍子),那麼他也有過錯,因為他負責給不剃光自己的男人剃光。
因此,該規則不適用。 但是,這是一個悖論嗎? 沒有理由相信鄉村委員會或任何其他機構可能是荒謬法律的源頭。 實際上,這種“悖論”遠非邏輯上的矛盾,它只是表明尊重這一規則的理髮師是不存在的。 它說明瞭如果R是任意二進制關係(在這種情況下為“ … shave…”),則以下語句以正式語言編寫:

¬y(x(y R x⇔¬x R x)
是用於計算一階謂詞的通用公式。 我們將參考有關拉塞爾悖論的文章,以了解在天真的集合論中的隸屬關係情況下,這為什麼會導致真正的對立,也就是說,導致理論上的矛盾。

由於它實際上適用於任何(二元)關係,因此可以給它帶來或多或少的幸福,多種變體。 讓我們援引Martin Gardner的觀點:在邏輯上是否可以編寫一個目錄,列出所有未列出自己的目錄,僅列出這些目錄? 答案是否定的,因為此目錄無法列出,也無法列出。

一階邏輯
{\ displaystyle(\ exists x)({\ text {person}}(x)\ wedge(\ forall y)({\ text {person}}(y)\ rightarrow({\ text {shaves}} {(x, y)\ leftrightarrow \ neg {\ text {shaves}}(y,y)))}}
由於通用量詞,該句子無法令人滿意(矛盾)(\對所有人 )。 通用量詞y將包括域中的每個元素,包括我們臭名昭著的理髮師x。 因此,當將值x分配給y時,該句子可以重寫為{\ text {shaves}}(x,x)\ leftrightarrow \ neg {\ text {shaves}}(x,x),這是矛盾的一個例子a \ leftrightarrow \ nea

變體
悖論有很多變體,例如:

塞維利亞的理髮師剃光了所有塞維利亞的男人,除了那些自己刮鬍子的人。 這種裝飾沒有提供羅素的毫無意義的定義,而只是暗示理髮師不是塞維利亞的男人(也許是女理髮師或者是在附近城鎮工作的理髮師)。

一個自相矛盾的命令:“不允許所有市長居住在自己的城市,而必須搬到專門建立的市長城市布姆斯塔德。 布姆斯特市長現在住在哪裡? ”

接近Russellian對立性:圖書館想要創建一個書目目錄,該目錄列出了所有不包含對自己的引用的書目目錄。 該目錄也要列出嗎? 如果是這樣,他會收到自己的參考,但不屬於列出的目錄集中。 如果不是,它不包含任何對自身的引用,但仍屬於此集合。

Euathlos的古代詭辯也與之有關。