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悖論 邏輯

騙子悖論

在哲學和邏輯上,經典的說謊者悖論或說謊者的悖論或說謊者的對立性是對說謊者說謊的陳述:例如,宣稱“我在說謊”。如果撒謊者確實在撒謊,那麼撒謊者就是在說真話,這意味著撒謊者只是在撒謊。在“這句話是一個謊言”中,悖論得到了加強,以使其能夠進行更嚴格的邏輯分析。儘管準確地說是從說謊者的陳述中抽像出來的,但它仍然通常被稱為“說謊者悖論”。試圖賦予這種說法,加強的騙子,一個經典的二進制真值導致矛盾。

通常,儘管“騙子的悖論”是由騙子本人精確進行的,但通常會更多地使用該術語。在試圖將二元真值歸屬於強化的騙子的陳述時,出現了矛盾。

如果“此句子為假”為真,則為假,但該句子指出其為假,如果為假,則必須為真,依此類推。

為了防止某條語句引用其自身的邏輯值,還可以按照以下方式構造悖論,稱為增強的說謊悖論:以下語句為true。上一條語句為false。

歷史
有人提出將Epimenides悖論(約在公元前600年)作為說謊者悖論的一個例子,但它們在邏輯上並不等效。據報導,半神話般的先知Epimenides是克里特島人,他說:“所有克里特人都是騙子。” 但是,埃皮梅尼德斯(Epimenides)關於所有克里特人都是撒謊者的說法可以被認為是虛假的,因為他知道至少還有一個沒有撒謊的克里特人。正是為了避免人為因素和模糊概念帶來的不確定性,現代邏輯學家提出了“強化”的騙子,例如“這句話是錯誤的”。

悖論的名稱在古希臘語中翻譯為pseudómenoslógos(ψευδόμενοςλόγος)。說謊者悖論的一種說法是生活在公元前4世紀的希臘哲學家米利都(Miletus)的Eubulides。據說Eubulides問:“一個人說他在撒謊。他說的是對還是錯?”

圣杰羅姆曾經在佈道中討論過這種悖論:

“我驚慌地說,每個人都是騙子!” 大衛是在說實話還是在說謊?如果每個人都是騙子是真的,而大衛說“每個人都是騙子”是真的,那麼大衛也是在撒謊。他也是一個男人。但是,如果他也撒謊,那麼他說“每個人都是騙子”的說法就不正確。無論您採用哪種方法,結論都是矛盾的。由於大衛本人是個男人,因此他也在撒謊。但是如果他因為每個人都是騙子而撒謊,那他的撒謊是另一種情況。

印度的文法哲學家巴特里(Bhartrhari,公元5世紀晚期)充分意識到了一個騙子悖論,他將其描述為“我所說的一切都是假的”(sarvammithyābravīmi)。他分析了這種陳述以及“不可定義性”的悖論,並探討了在日常生活中沒有問題的陳述與悖論之間的界限。

從9世紀末開始,至少在五個世紀以前,伊斯蘭早期的騙術悖論一直在討論中,而且顯然不受任何其他傳統的影響。Naṣīral-Dīnal-Ṭūsī可能是第一個將說謊者悖論確定為自我指稱的邏輯學家。

說明和變體
說謊者悖論的問題在於,這似乎表明,關於真理和虛假性的共同信念實際上導致了矛盾。即使句子完全符合語法和語義規則,也可以構造不能始終如一地分配真值的句子。

悖論的最簡單形式是:

答:這個陳述(A)是錯誤的。

如果(A)為true,則“此語句為false”為true。因此,(A)必須為假。(A)為真的假設得出結論,即(A)為假,這是一個矛盾。

如果(A)為假,則“此語句為假”為假。因此,(A)必須為真。(A)為假的假設導致得出結論(A)為真,這是另一個矛盾。不管哪種方式,(A)都是對還是錯,這是一個悖論。

但是,如果說謊者的句子是假的,那麼說謊者的句子就可以被證明是正確的;如果事實是假的,則可以證明它是錯誤的。對悖論的這種回應實際上是拒絕了每項陳述必須為真或為假的主張,也被稱為“雙價原則”,即與被排除中間律有關的概念。

關於陳述既非真非假的提議引起了以下悖論的強化版本:

這個說法是不正確的。(B)

如果(B)既不是真也不是假,則它一定不是真。由於這是(B)本身所聲明的,因此意味著(B)必須為真。由於最初的(B)不正確,現在又是正確的,因此出現了另一個悖論。

正如格雷厄姆·普里斯特(Graham Priest)所言,對(A)悖論的另一種反應是認為該陳述是對也是錯。但是,即使是Priest的分析也容易受到以下騙子的影響:

這句話是假的。(C)

如果(C)為真和假,則(C)僅為假。但是,那是不正確的。由於最初(C)是正確的,而現在不是真實的,所以這是一個悖論。但是,有人認為,通過採用二值關係語義(與功能語義相反),辯證法可以克服這種騙子的形式。

騙子悖論也有多句版本。以下是兩句版本:

以下陳述是正確的。(D1)
前面的陳述是錯誤的。(D2)

假設(D1)為真。那麼(D2)為真。這意味著(D1)為假。因此,(D1)是對還是錯。

假設(D1)為假。那麼(D2)為假。這意味著(D1)為真。因此,(D1)是對還是錯。不管哪種方式,(D1)都是對與否–與上述(A)相同。

騙子悖論的多句版本可概括為此類陳述的任何循環序列(其中最後一條陳述斷言第一條陳述的真實/虛假),前提是存在奇數個斷言其後繼者虛假的陳述;以下是一個三句版本,每個語句都斷言了其後繼者的虛假性:

E2為假。(E1)
E3為假。(E2)
E1為假。(E3)

假設(E1)為真。那麼(E2)為假,這意味著(E3)為真,因此(E1)為假,從而導致矛盾。

假設(E1)為假。那麼(E2)為真,這意味著(E3)為假,因此(E1)為真。不管哪種方式,(E1)都是對與否–與(A)和(D1)相同。

還有許多其他變體,也可能有許多補充。在正常的句子構造中,補碼的最簡單形式是句子:

這句話是真的。(F)
如果假定F帶有一個真值,那麼它將帶來確定該值的對象的問題。但是,可以通過假設單個單詞“ true”具有真值來實現更簡單的版本。悖論的相似之處是假定單詞“ false”同樣具有真值,即它是假的。這揭示了悖論可以簡化為假設謬論的想法具有真實價值的心理行為,即謬論的想法是錯誤的:錯誤陳述的行為。因此,悖論的對稱形式為:

以下語句為假。(G1)
前面的陳述是錯誤的。(G2)

可能的解決方案

阿爾弗雷德·塔斯基
阿爾弗雷德·塔斯基(Alfred Tarski)診斷該悖論僅在“語義上封閉”的語言中出現,他的意思是一種語言,其中一個句子可能用同一語言(甚至是其本身)來斷言另一句話的真實性(或虛假性)。 )。為避免自相矛盾,在討論真值時必須預想各種語言的水平,每種語言只能預測較低語言的真(或假)。因此,當一個句子引用另一個句子的真實值時,它在語義上更高。被引用的句子是“目標語言”的一部分,而被引用的句子被視為相對於目標語言的“元語言”的一部分。“語言”中的句子是合法的 在語義層次結構中較高的句子是指“語言”層次結構中較低的句子,但反之則不然。這樣可以防止系統成為自我參照。

但是,該系統是不完整的。一個人希望能夠做出這樣的陳述,例如“對於層次結構中級別α的每條陳述,在級別α+ 1處有一條陳述斷言第一條陳述為假。” 這是關於Tarski定義的層次結構的真實,有意義的聲明,但它引用了層次結構中每個級別的語句,因此它必須位於層次結構的每個級別之上,因此在層次結構中是不可能的(儘管這個句子是可能的)。

亞瑟·普里爾
亞瑟·普里爾(Arthur Prior)斷言,騙子悖論沒有任何悖論。他的主張(他將之歸因於查爾斯·桑德斯·皮爾斯和約翰·伯里丹)是,每條陳述都隱含了對自己真理的斷言。因此,例如,語句“確實是2加2等於4”包含的信息不多於語句“ 2加2等於4”,因為短語“確實是……”始終隱含在該處。按照騙子悖論的自指精神,短語“確實是……”等同於“整個陳述都是正確的……”。

因此,以下兩個語句是等效的:

這句話是錯誤的。
此聲明為true,此聲明為false。
後者是形式“ A而非A”的簡單矛盾,因此是錯誤的。因此,沒有悖論,因為這種二合一騙子是虛假的主張不會導致矛盾。尤金·米爾斯(Eugene Mills)提出了類似的答案。

索爾·克里普克
索爾·克里普克(Saul Kripke)辯稱,一個句子是否具有反常性取決於偶然的事實。:6如果史密斯對瓊斯所說的唯一一句話是

瓊斯對我說的大多數話都是錯誤的。
瓊斯只說了關於史密斯的三件事:

史密斯是一個大人物。
史密斯對犯罪情有獨鍾。
史密斯對我說的一切都是真的。
如果史密斯確實是一個大支出國,但對犯罪並不軟弱,那麼史密斯關於瓊斯的言論和瓊斯關於史密斯的最後言論都是自相矛盾的。

Kripke以以下方式提出了一種解決方案。如果一條陳述的真實價值最終被束縛在有關世界的一些可評估事實中,則該陳述是“紮根的”。如果不是,則該聲明是“沒有根據的”。沒有根據的陳述沒有真實值。說謊者陳述和類似說謊者的陳述是沒有根據的,因此沒有真實價值。

喬恩·巴里斯(Jon Barwise)和約翰·埃特肯迪
喬恩·巴里斯(Jon Barwise)和約翰·埃特赫曼迪(John Etchemendy)提出,說謊者的句子(他們將其解釋為強化說謊者的代名詞)含糊不清。他們基於在“否認”與“否定”之間做出區分而得出這一結論。如果說謊者的意思是“這句話不是真的”,那就是在否認自己。如果它表示“此聲明不正確”,則表示它在否定自己。他們繼續根據情況語義論證,“否認說謊者”可以是真實的而沒有矛盾,而“否定說謊者”可以是錯誤的而沒有矛盾。他們在1987年出版的書中大量使用了缺乏充分依據的集合論。

辯證法
格雷厄姆·普里斯特(Graham Priest)和其他邏輯學家,包括JC Beall和Bradley Armour-Garb,都建議說謊者的句子應該被認為是真是假,這被認為是辯證法。辯證法是存在真正矛盾的觀點。唯物論提出了自己的問題。其中最主要的是,因為辯證法認識到說謊者悖論是一種內在矛盾,所以它必須拋棄長期以來公認的爆炸原理,該原理斷言任何主張都可以從矛盾中推論出來,除非辯證主義者願意接受。瑣碎主義–所有主張都是正確的觀點。由於瑣碎主義是一種直覺上的錯誤觀點,因此唯美主義者幾乎總是拒絕爆炸原理。拒絕它的邏輯稱為超一致性。

非認知主義
安德魯·歐文(Andrew Irvine)主張採用一種非認知主義的方法來解決這一悖論,他認為某些看似形式正確的句子將證明既不是真是假,而且“僅憑形式標準就不可避免地證明不足以解決這一悖論”。

巴爾塔里的透視主義
印度的文法哲學家巴特里(Bhartrhari,公元5世紀後期)在他的巨著《瓦迦帕底亞》(Vākyapaddiya)的其中一章中,談到了諸如騙子之類的悖論。儘管他按時間順序先於對騙子悖論問題進行所有現代處理,但直到最近,那些無法閱讀原始梵文資料的人才有可能與現代邏輯學家和哲學家們面對他的觀點和分析,因為它們具有足夠可靠的版本和翻譯從20世紀下半葉開始,他的作品才開始出現。巴爾塔里(Bhartrhari)的解決方案適合於他對語言,思想和現實的一般方法,這種方法的特徵是“相對論”,“不置可否”或“透視”。

關於說謊者悖論(sarvammithyābhavāmi“我所說的一切都是錯誤的”),Bhartrhari指出了一個隱藏的參數,該參數可以將日常交流中無問題的情況轉變為頑固的悖論。可以根據朱利安·羅伯茨(Julian Roberts)在1992年提出的解決方案來理解巴特里(Bhartrhari)的解決方案。時間點不必在另一點……“奧斯丁式”論證的全部力量不僅在於“事物發生了變化”,而且理性本質上是暫時的,因為我們需要時間來調和和管理否則會發生什麼。成為相互破壞的狀態。”

根據羅伯特的建議,正是“時間”這一因素使我們能夠調和分開的“世界各部分”,在解決Barwise和Etchemendy的過程中起著至關重要的作用:188。這兩個“世界的一部分”在這裡位於“騙子”之外。但是,根據巴特里(Bhartrhari)的分析,時間的擴展將世界的兩個觀點或兩個“世界的一部分”(功能完成任務之前和之後的部分)分開,這是任何“功能”所固有的:還有表示每個語句(包括“騙子”)的基礎的功能。出現了無法解決的悖論,即我們存在矛盾(virodha)或無限回歸(anavasthā)的情況,

邏輯結構
為了更好地理解說謊者悖論,以更正式的方式寫下來很有用。如果用A表示“此陳述是錯誤的”,並且正在尋求其真值,則必須找到一個條件來限制對A可能的真值的選擇。由於A是自指的,因此可以給出條件由等式。

如果假定某條語句B為假,則寫“ B =假”。語句B為假的語句(C)將寫為“ C =’B =假’”。現在,騙子悖論可以表示為語句A,即A為假:

A =“ A =假”
這是一個方程,從中可以希望得到A =“此陳述為假”的真值。在布爾域中,“ A = false”等效於“ not A”,因此該方程不可解。這是重新解釋A的動機。使方程可解的最簡單邏輯方法是辯證法,在這種情況下,解決方案是A既是“真”又是“假”。其他解決方案主要包括對方程的一些修改。Arthur Prior聲稱等式應為“ A =’A =假且A =真’”,因此A為假。在計算動詞邏輯中,說謊者悖論擴展到諸如“我聽到他說的話;他說我沒聽到的話”之類的陳述,其中必須使用動詞邏輯來解決該悖論。

應用領域

哥德爾的第一個不完全性定理
哥德爾不完備性定理是數學邏輯的兩個基本定理,它們陳述了足夠強大的數學公理系統的固有局限性。該定理由庫特·哥德爾(KurtGödel)於1931年證明,在數學哲學中很重要。粗略地說,在證明第一個不完全性定理時,哥德爾使用了騙子悖論的修改版本,用“這句話是不可證明的”代替了“這句話是假的”,稱為“哥德爾句子G”。他的證明表明,對於任何足夠強大的理論,T都是正確的,但在T中無法證明。對G的事實和可證明性的分析是對說謊者句子的真實性進行形式化的分析。

為了證明第一個不完全性定理,Gödel用數字表示語句。然後,假設該理論可以證明有關數字的某些事實,也可以證明其自身陳述的事實。關於陳述可證明性的問題表示為關於數字性質的問題,如果該理論是完整的,則可以由該理論確定。用這些術語,哥德爾句子指出,不存在具有某種奇怪屬性的自然數。具有此屬性的數字將編碼該理論不一致的證明。如果有這樣一個數字,那麼與一致性假設相反,該理論將是不一致的。因此,假設理論是一致的,則沒有這樣的數字。

由於謂詞“ Q是錯誤公式的Gödel數”不能表示為算術公式,因此不可能在Gödel句子中將“ not provable”替換為“ false”。這個結果被稱為塔斯基不可定義定理,是由哥德爾(當時他正在研究不完全性定理的證明)和阿爾弗雷德·塔斯基分別發現的。

此後,喬治·布洛斯(George Boolos)畫出了第一個不完全性定理的另一種證明,該定理使用貝里的悖論而非說謊者的悖論來構造一個真實但無法證明的公式。

在流行文化中
說謊者悖論有時在小說中用於關閉人工智能,這些人工智能被認為無法處理該句子。在《星際迷航:原始人系列》第1集“ I,Mudd”中,柯克船長和哈里·穆德使用騙子悖論來混淆並最終使持有它們的機器人無法使用。在1973年的Who Who系列醫生的《綠色死​​亡》中,Doctor問“如果我要告訴你我說的第二句話是真實的,但我最後說的是謊言,你會撒謊嗎?”相信我?” 但是,BOSS最終認為問題無關緊要,並要求安全。

在2011年的視頻遊戲《傳送門2》中,GLaDOS試圖使用“這句話是錯誤的”悖論來擊敗幼稚的人工智能“惠特利”,但是,由於缺乏智能來實現這一陳述的悖論,他只是回答:“嗯,是的。會正確的。那很容易。” 儘管他周圍的法蘭克人確實起火併脫機,但他並沒有受到影響。

在《我的世界:故事模式》的第七集中,標題為“訪問被拒絕”,主角傑西和他的朋友被一台名為PAMA的超級計算機捕獲。在PAMA控制了Jesse的兩個朋友之後,Jesse得知PAMA在處理時停頓了,並使用悖論使他迷惑並與他的最後一個朋友逃脫。玩家可以說的悖論之一是說謊者悖論。

在道格拉斯·亞當斯(Douglas Adams)的《銀河系旅行者指南》第21章中,他描述了一個孤獨的老人,在空間坐標上居住著一個小行星,該行星原本應該是一個專門用於比羅(圓珠筆)生命形式的行星。這位老人一再聲稱沒有什麼是真的,儘管後來發現他在撒謊。

1994年,羅林斯樂隊(Rollins Band)1994年的歌曲《騙子》(Liar)暗示了這種悖論,因為敘述者說“我會一次又一次說謊,我會繼續說謊,我保證”,以此來結束這首歌。

羅伯特·厄爾·基恩(Robert Earl Keen)的歌曲《路在走來走去》暗示了這一悖論。人們普遍認為這首歌是基恩與托比·基思(Toby Keith)仇恨的一部分,後者大概是基恩所指的“騙子”。